The Geometry of Filtering

فیلتر کردن علم تعیین قانون یک فرآیند با مشاهده جزئی از آن است. اشیاء اصلی که ما در اینجا مطالعه می کنیم، فرآیندهای توزیع هستند. اینها به طور طبیعی با عملگرهای متفاوت خطی مرتبه دوم مرتبط هستند که نیمه بیضوی هستند و بنابراین ساختار ریمانی احتمالاً منحط را در فضای حالت معرفی می کنند. در واقع، بسیاری از آنچه که ما بحث می کنیم، صرفاً در مورد دو عملگر از این دست است که توسط یک نقشه صاف در هم تنیده شده اند، \"طرح از فضای حالت به فضای مشاهدات\"، و شامل هیچ تحلیل تصادفی نمی شود. از نقطه نظر فرآیندهای تصادفی. هدف ما ارائه و مطالعه ساختار هندسی زیربنایی است که به ما اجازه می دهد تا در یک چارچوب مارکویی با قانون شرطی حاصل از فرآیند مارکوف که به طور کلی زمان ناهمگن است، حروف را انجام دهیم. این هندسه با نماد عملگر در فضای حالت که به نمادی در فضای مشاهده نمایش داده می شود. نماد قابل پرتاب یک اتصال (احتمالا غیر خطی و تا حدی مشخص) ایجاد می کند که فرآیند مشاهده را به فضای حالت می برد و تجزیه عملگر را در فضای مشاهده می دهد. همانطور که استاندارد است، می‌توانیم نظریه کلاسیک ltering را که در آن مشاهدات معمولاً مارکوین نیستند، با استفاده از قضیه گیرسانوف-مارویاما-کامرون-مارتین بازیابی کنیم. این ساختاری که ما داریم در رابطه با تعدادی از موضوعات هندسی بررسی شده است.

Filtering is the science of nding the law of a process given a partial observation of it. The main objects we study here are di usion processes. These are naturally associated with second-order linear di erential operators which are semi-elliptic and so introduce a possibly degenerate Riemannian structure on the state space. In fact, much of what we discuss is simply about two such operators intertwined by a smooth map, the \projection from the state space to the observations space", and does not involve any stochastic analysis. From the point of view of stochastic processes, our purpose is to present and to study the underlying geometric structure which allows us to perform the ltering in a Markovian framework with the resulting conditional law being that of a Markov process which is time inhomogeneous in general. This geometry is determined by the symbol of the operator on the state space which projects to a symbol on the observation space. The projectible symbol induces a (possibly non-linear and partially de ned) connection which lifts the observation process to the state space and gives a decomposition of the operator on the state space and of the noise. As is standard we can recover the classical ltering theory in which the observations are not usually Markovian by application of the Girsanov- Maruyama-Cameron-Martin Theorem. This structure we have is examined in relation to a number of geometrical topics.