Mathematics, form and function

Cover......Page 1
Title page......Page 3
Copyright page......Page 4
Preface......Page 5
Contents......Page 7
Introduction......Page 13
CHAPTER I. Origins of Formal Structure......Page 18
1. The Natural Numbers......Page 19
2. Infinite Sets......Page 22
3. Permutations......Page 23
4. Time and Order......Page 25
5. Space and Motion......Page 28
6. Symmetry......Page 31
7. Transformation Groups......Page 33
8. Groups......Page 34
9. Boolean Algebra......Page 38
10. Calculus, Continuity, and Topology......Page 41
11. Human Activity and Ideas......Page 46
12. Mathematical Activities......Page 48
13. Axiomatic Structure......Page 52
1. Properties of Natural Numbers......Page 54
2. The Peano Postulates......Page 55
3. Natural Numbers Described by Recursion......Page 59
4. Number Theory......Page 60
5. Integers......Page 62
6. Rational Numbers......Page 63
7. Congruence......Page 64
8. Cardinal Numbers......Page 66
9. Ordinal Numbers......Page 68
10. What Are Numbers?......Page 70
1. Spatial Activities......Page 73
2. Proofs without Figures......Page 75
3. The Parallel Axiom......Page 79
4. Hyperbolic Geometry......Page 82
5. Elliptic Geometry......Page 85
6. Geometric Magnitude......Page 87
7. Geometry by Motion......Page 88
8. Orientation......Page 94
9. Groups in Geometry......Page 97
10. Geometry by Groups......Page 99
11. Solid Geometry......Page 101
12. Is Geometry a Science?......Page 103
1. Measures of Magnitude......Page 105
2. Magnitude as a Geometric Measure......Page 106
3. Manipulations of Magnitudes......Page 109
4. Comparison of Magnitudes......Page 110
5. Axioms for the Reals......Page 114
6. Arithmetic Construction of the Reals......Page 117
7. Vector Geometry......Page 119
8. Analytic Geometry......Page 121
9. Trigonometry......Page 122
10. Complex Numbers......Page 126
11. Stereographic Projection and Infinity......Page 128
12. Are Imaginary Numbers Real?......Page 130
13. Abstract Algebra Revealed......Page 131
14. The Quaternions—and Beyond......Page 132
15. Summary......Page 133
1. Types of Functions......Page 135
2. Maps......Page 137
3. What Is a Function?......Page 138
4. Functions as Sets of Pairs......Page 140
5. Transformation Groups......Page 145
6. Groups......Page 147
7. Galois Theory......Page 150
8. Constructions of Groups......Page 154
9. Simple Groups......Page 158
10. Summary: Ideas of Image and Composition......Page 159
1. Origins......Page 162
2. Integration......Page 164
3. Derivatives......Page 166
4. The Fundamental Theorem of the Integral Calculus......Page 167
5. Kepler\'s Laws and Newton\'s Laws......Page 170
6. Differential Equations......Page 173
7. Foundations of Calculus......Page 174
8. Approximations and Taylor\'s Series......Page 179
9. Partial Derivatives......Page 180
10. Differential Forms......Page 185
11. Calculus Becomes Analysis......Page 190
12. Interconnections of the Concepts......Page 195
1. Sources of Linearity......Page 197
2. Transformations versus Matrices......Page 200
3. Eigenvalues......Page 203
4. Dual Spaces......Page 205
5. Inner Product Spaces......Page 208
6. Orthogonal Matrices......Page 210
7. Adjoints......Page 212
8. The Principal Axis Theorem......Page 214
9. Bilinearity and Tensor Products......Page 216
10. Collapse by Quotients......Page 220
11. Exterior Algebra and Differential Forms......Page 222
12. Similarity and Sums......Page 225
13. Summary......Page 230
1. Curvature......Page 231
2. Gaussian Curvature for Surfaces......Page 234
3. Arc Length and Intrinsic Geometry......Page 238
4. Many-Valued Functions and Riemann Surfaces......Page 240
5. Examples of Manifolds......Page 245
6. Intrinsic Surfaces and Topological Spaces......Page 248
7. Manifolds......Page 251
8. Smooth Manifolds......Page 256
9. Paths and Quantities......Page 259
10. Riemann Metrics......Page 263
11. Sheaves......Page 264
12. What Is Geometry?......Page 268
1. Kepler\'s Laws......Page 271
2. Momentum, Work, and Energy......Page 276
3. Lagrange\'s Equations......Page 279
4. Velocities and Tangent Bundles......Page 286
5. Mechanics in Mathematics......Page 289
6. Hamilton\'s Principle......Page 290
7. Hamilton\'s Equations......Page 294
8. Tricks versus Ideas......Page 299
9. The Principal Function......Page 301
10. The Hamilton—Jacobi Equation......Page 304
11. The Spinning Top......Page 307
12. The Form of Mechanics......Page 313
13. Quantum Mechanics......Page 315
1. Functions of a Complex Variable......Page 319
2. Pathological Functions......Page 322
3. Complex Derivatives......Page 324
4. Complex Integration......Page 329
5. Paths in the Plane......Page 334
6. The Cauchy Theorem......Page 340
7. Uniform Convergence......Page 345
8. Power Series......Page 348
9. The Cauchy Integral Formula......Page 350
10. Singularities......Page 353
11. Riemann Surfaces......Page 356
12. Germs and Sheaves......Page 363
13. Analysis, Geometry, and Topology......Page 368
CHAPTER XI. Sets, Logic, and Categories......Page 370
1. The Hierarchy of Sets......Page 371
2. Axiomatic Set Theory......Page 374
3. The Propositional Calculus......Page 380
4. First Order Language......Page 382
5. The Predicate Calculus......Page 385
6. Precision and Understanding......Page 389
7. Goedel Incompleteness Theorems......Page 391
8. Independence Results......Page 395
9. Categories and Functions......Page 398
10. Natural Transformations......Page 402
11. Universals......Page 404
12. Axioms on Functions......Page 410
13. Intuitionistic Logic......Page 414
14. Independence by Means of Sheaves......Page 416
15. Foundation or Organization?......Page 418
CHAPTER XII. The Mathematical Network......Page 421
1. The Formal......Page 422
2. Ideas......Page 427
3. The Network......Page 429
4. Subjects, Specialties, and Subdivisions......Page 434
5. Problems......Page 440
6. Understanding Mathematics......Page 443
7. Generalization and Abstraction......Page 446
8. Novelty......Page 450
9. Is Mathematics True?......Page 452
10. Platonism......Page 459
11. Preferred Directions for Research......Page 461
12. Summary......Page 465
Bibliography......Page 469
List of Symbols......Page 473
Index......Page 475