Variational methods: Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems

سخنرانی هیلبرت در دومین کنگره بین المللی سال 1900 در پاریس، آغاز عصر جدیدی در محاسبات تغییرات بود. توسعه ای آغاز شد که طی چند دهه موفقیت فوق العاده ای به همراه داشت، که توسط قضیه 1929 لیوسترنیک و شنیرلمن در مورد وجود سه ژئودزیک بسته اول مجزا بر روی هر سطح فشرده ای از جنس صفر برجسته شد و حل مسئله فلات در سال 1930/31 توسط داگلاس و رادو این کتاب مقدمه‌ای مختصر بر روش‌های تنوع ارائه می‌کند و مروری بر حوزه‌های تحقیقات فعلی در این زمینه ارائه می‌کند.

ویرایش چهارم به بررسی تحولات جدید در این زمینه می پردازد. به ویژه شامل اثبات همگرایی جریان Yamabe و درمان دقیق پدیده انفجار است. همچنین نتایج اخیراً کشف شده برای حباب برگشتی در جریان گرما برای نقشه ها یا سطوح هارمونیک مورد بحث قرار می گیرد. جدا از این اضافات مهم تر، تعدادی تغییرات کوچکتر در سراسر متن ایجاد شده و مراجع به روز شده اند.

Hilbert's talk at the second International Congress of 1900 in Paris marked the beginning of a new era in the calculus of variations. A development began which, within a few decades, brought tremendous success, highlighted by the 1929 theorem of Ljusternik and Schnirelman on the existence of three distinct prime closed geodesics on any compact surface of genus zero, and the 1930/31 solution of Plateau's problem by Douglas and Radó. The book gives a concise introduction to variational methods and presents an overview of areas of current research in the field.

The fourth edition gives a survey on new developments in the field. In particular it includes the proof for the convergence of the Yamabe flow and a detailed treatment of the phenomenon of blow-up. Also the recently discovered results for backward bubbling in the heat flow for harmonic maps or surfaces are discussed. Aside from these more significant additions, a number of smaller changes throughout the text have been made and the references have been updated.