Stochastic Calculus with Infinitesimals

تحلیل تصادفی نه تنها یک حوزه پر رونق از ریاضیات محض با پیوندهای جذاب به معادلات دیفرانسیل جزئی و هندسه دیفرانسیل است. همچنین کاربردهای متعددی در علوم طبیعی و اجتماعی (به عنوان مثال در ریاضیات مالی یا مکانیک کوانتومی نظری) دارد و بنابراین در برنامه های درسی فیزیک و اقتصاد نیز ظاهر می شود. با این حال، رویکردهای موجود به تحلیل تصادفی یا مفاهیم مختلفی از نظریه اندازه گیری و تحلیل عملکردی را پیش‌فرض می‌گیرند یا فاقد دقت کامل ریاضی هستند. این کتاب کوتاه پیشنهاد می‌کند این معضل را حل کند: با پذیرش نظریه «بسیار ابتدایی» ای. نلسون در مورد فرآیندهای تصادفی زمان پیوسته، بر استفاده ثابتی از بی‌نهایت‌ها استوار است و بنابراین یک رویکرد کاملاً ساده‌شده و در عین حال کاملاً دقیق را امکان‌پذیر می‌سازد. محاسبات تصادفی و کاربردهای جذاب آن، که برخی از آنها (به ویژه نظریه قیمت گذاری گزینه بلک-اسکولز و انتگرال مسیر فاینمن) نیز در کتاب مورد بحث قرار گرفته است.

Stochastic analysis is not only a thriving area of pure mathematics with intriguing connections to partial differential equations and differential geometry. It also has numerous applications in the natural and social sciences (for instance in financial mathematics or theoretical quantum mechanics) and therefore appears in physics and economics curricula as well. However, existing approaches to stochastic analysis either presuppose various concepts from measure theory and functional analysis or lack full mathematical rigour. This short book proposes to solve the dilemma: By adopting E. Nelson's "radically elementary" theory of continuous-time stochastic processes, it is based on a demonstrably consistent use of infinitesimals and thus permits a radically simplified, yet perfectly rigorous approach to stochastic calculus and its fascinating applications, some of which (notably the Black-Scholes theory of option pricing and the Feynman path integral) are also discussed in the book.