Simplicial complexes of graphs

مجموعه گراف یک خانواده محدود از نمودارها است که تحت حذف یال ها بسته می شوند. مجتمع های گراف به طور طبیعی در بسیاری از حوزه های مختلف ریاضیات، از جمله جبر جابجایی، هندسه، و نظریه گره ظاهر می شوند. با شناسایی هر گراف با مجموعه لبه‌های آن، می‌توان یک مجتمع گراف را به‌عنوان یک مجتمع ساده مشاهده کرد و از این رو آن را به عنوان یک شی هندسی تفسیر کرد. این جلد به بررسی خواص توپولوژیکی کمپلکس‌های گراف می‌پردازد، با تمرکز بر نوع همتوپی و همسانی.

بسیاری از اثبات‌ها بر اساس نسخه گسسته رابین فورمن از نظریه مورس هستند. به عنوان یک محصول جانبی، این جلد همچنین یک جعبه ابزار با تعریف ضعیف برای حمله به مسائل در ترکیبات توپولوژیکی از طریق نظریه گسسته مورس فراهم می کند. از نظر سادگی و قدرت، مسلماً کارآمدترین ابزار، رویکرد فورمن از طریق درختان تصمیم تفرقه و غلبه است. این با موفقیت در تعداد زیادی از کمپلکس‌های گراف و دیگراف اعمال می‌شود.

A graph complex is a finite family of graphs closed under deletion of edges. Graph complexes show up naturally in many different areas of mathematics, including commutative algebra, geometry, and knot theory. Identifying each graph with its edge set, one may view a graph complex as a simplicial complex and hence interpret it as a geometric object. This volume examines topological properties of graph complexes, focusing on homotopy type and homology.

Many of the proofs are based on Robin Forman's discrete version of Morse theory. As a byproduct, this volume also provides a loosely defined toolbox for attacking problems in topological combinatorics via discrete Morse theory. In terms of simplicity and power, arguably the most efficient tool is Forman's divide and conquer approach via decision trees; it is successfully applied to a large number of graph and digraph complexes.