Primality Testing in Polynomial Time: From Randomized Algorithms to "PRIMES Is in P"

در 6 آگوست 2002، مقاله ای با عنوان "PRIMES در P است" توسط M. Agrawal، N. Kayal و N. Saxena در وب سایت موسسه فناوری هند در کانپور، هند ظاهر شد. در این مقاله نشان داده شد که "مسئله اولیه" دارای "الگوریتم قطعی" است که در "زمان چند جمله ای" اجرا می شود. یافتن اینکه آیا عدد معین n عدد اول است یا خیر، مسئله ای است که در زمان های قدیم فرموله شده است و برای قرن ها دوباره مورد توجه ریاضیدانان قرار گرفته است. تنها در قرن بیستم، با ظهور سیستم‌های رمزنگاری که در واقع از اعداد اول بزرگ استفاده می‌کردند، تشخیص دادن اعداد اول و اعداد مرکب با اندازه‌های مهم از اهمیت عملی برخوردار بود. به آسانی، الگوریتم‌هایی ارائه شدند که مسئله را به‌طور بسیار کارآمد و رضایت‌بخش برای تمام اهداف عملی حل می‌کردند، و به‌طور اثبات‌شده از یک چند جمله‌ای محدود زمانی در تعداد ارقام مورد نیاز برای نوشتن عدد ورودی n برخوردار بودند. تنها اشکال این الگوریتم‌ها این است که از «تصادفی‌سازی» استفاده می‌کنند - به این معنی که رایانه‌ای که الگوریتم را انجام می‌دهد آزمایش‌های تصادفی انجام می‌دهد و احتمال کمی وجود دارد که نتیجه اشتباه باشد یا زمان اجرا ممکن است چند جمله‌ای نباشد. پیدا کردن الگوریتمی که بدون تصادفی انجام می شود، مشکل را بدون خطا حل می کند و زمان اجرای چند جمله ای دارد، برای دهه ها زمانی که مقاله آگراوال، کایال و ساکسنا در وب منتشر شد، یک مسئله باز برجسته در نظریه پیچیدگی بود. /p>

On August 6, 2002,a paper with the title “PRIMES is in P”, by M. Agrawal, N. Kayal, and N. Saxena, appeared on the website of the Indian Institute of Technology at Kanpur, India. In this paper it was shown that the “primality problem”hasa“deterministic algorithm” that runs in “polynomial time”. Finding out whether a given number n is a prime or not is a problem that was formulated in ancient times, and has caught the interest of mathema- ciansagainandagainfor centuries. Onlyinthe 20thcentury,with theadvent of cryptographic systems that actually used large prime numbers, did it turn out to be of practical importance to be able to distinguish prime numbers and composite numbers of signi?cant size. Readily, algorithms were provided that solved the problem very e?ciently and satisfactorily for all practical purposes, and provably enjoyed a time bound polynomial in the number of digits needed to write down the input number n. The only drawback of these algorithms is that they use “randomization” — that means the computer that carries out the algorithm performs random experiments, and there is a slight chance that the outcome might be wrong, or that the running time might not be polynomial. To ?nd an algorithmthat gets by without rand- ness, solves the problem error-free, and has polynomial running time had been an eminent open problem in complexity theory for decades when the paper by Agrawal, Kayal, and Saxena hit the web.