Integration in Hilbert Space

ادغام در فضاهای تابعی در تئوری احتمال به وجود آمد که یک نظریه عمومی از فرآیندهای تصادفی ساخته شد. در اینجا اعتبار مسلماً به دلیل N. Wiener است، که معیاری را در فضای تابع ایجاد کرد، انتگرال هایی که میانگین مقدار توابع مسیرهای حرکت براونی را بیان می کنند. مسیرهای براونی قبلاً صرفاً به عنوان پدیده های فیزیکی (و نه ریاضی) در نظر گرفته می شد. A. N. Kolmogorov ساختار وینر را تعمیم داد تا به فرد اجازه دهد وجود معیاری مربوط به یک فرآیند تصادفی دلخواه را مشخص کند. این تحقیقات سرآغاز توسعه نظریه فرآیندهای تصادفی بود. بخش قابل توجهی از این نظریه شامل حل مسائل در نظریه اندازه گیری فضاهای تابع به زبان خاص فرآیندهای تصادفی است. به عنوان مثال، یافتن ویژگی های توابع نمونه با مشکل وجود یک اندازه گیری در فضایی مرتبط است. مشکلات خاصی در آمار به محاسبه چگالی یک اندازه گیری کاهش می یابد. r تی یکی دیگر، و مطالعه تبدیل فرآیندهای تصادفی منجر به مطالعه تبدیل فضاهای تابع با اندازه گیری می شود. باید توجه داشت که زبان نظریه احتمال تمایل دارد نتایج به دست آمده در این زمینه ها را برای ریاضیدانانی که در زمینه های دیگر کار می کنند پنهان کند. اقدام دیگری که منجر به مطالعه انتگرال ها در فضای تابع می شود، تئوری و کاربرد معادلات دیفرانسیل است. A. N.

Integration in function spaces arose in probability theory when a gen­ eral theory of random processes was constructed. Here credit is cer­ tainly due to N. Wiener, who constructed a measure in function space, integrals-with respect to which express the mean value of functionals of Brownian motion trajectories. Brownian trajectories had previously been considered as merely physical (rather than mathematical) phe­ nomena. A. N. Kolmogorov generalized Wiener's construction to allow one to establish the existence of a measure corresponding to an arbitrary random process. These investigations were the beginning of the development of the theory of stochastic processes. A considerable part of this theory involves the solution of problems in the theory of measures on function spaces in the specific language of stochastic pro­ cesses. For example, finding the properties of sample functions is connected with the problem of the existence of a measure on some space; certain problems in statistics reduce to the calculation of the density of one measure w. r. t. another one, and the study of transformations of random processes leads to the study of transformations of function spaces with measure. One must note that the language of probability theory tends to obscure the results obtained in these areas for mathematicians working in other fields. Another dir,ection leading to the study of integrals in function space is the theory and application of differential equations. A. N.