Discrete Calculus: Applied Analysis on Graphs for Computational Science

حوزه حساب دیفرانسیل و انتگرال، که به عنوان «حساب حساب بیرونی گسسته» نیز شناخته می‌شود، بر یافتن مجموعه مناسبی از تعاریف و عملگرهای دیفرانسیل تمرکز دارد که کارکرد ماشین حساب چند متغیره را بر روی یک محدود و گسسته امکان‌پذیر می‌سازد. فضا. بر خلاف اهداف سنتی برای یافتن گسسته سازی دقیق محاسبات چند متغیره مرسوم، حساب گسسته یک حساب مجزا و معادل ایجاد می کند که صرفاً در فضای گسسته بدون هیچ ارجاعی به فرآیند پیوسته زیربنایی عمل می کند.

این متن منحصربه‌فرد تحقیقات جاری را در سه حوزه محاسبات گسسته، شبکه‌های پیچیده و استخراج محتوای الگوریتمی در یک چارچوب واحد گرد هم می‌آورد. اگرچه چند تقاطع در ادبیات بین این رشته‌ها وجود داشته است، آنها عمدتاً مستقل از یکدیگر توسعه یافته‌اند، با این حال محققانی که در هر یک از این سه حوزه کار می‌کنند می‌توانند به شدت از ابزارها و تکنیک‌های مورد استفاده در سایر رشته‌ها بهره ببرند. بسیاری از کاربردهای مثال از چندین زمینه علوم محاسباتی برای نشان دادن سودمندی این چارچوب برای طیف وسیعی از مشکلات ارائه شده است. فرض بر این است که خوانندگان با مبانی حساب برداری، نظریه گراف و جبر خطی آشنا هستند.

موضوعات و ویژگی ها:

• ارائه یک مطلب بررسی کامل حساب گسسته، با تمرکز بر مفاهیم کلیدی مورد نیاز برای کاربرد موفق
• بسیاری از الگوریتم‌های پردازش تصویر استاندارد را در یک چارچوب مشترک برای مشاهده طیف گسترده‌ای از الگوریتم‌های استاندارد در فیلتر کردن، خوشه‌بندی و یادگیری چندگانه یکپارچه می‌کند. ممکن است برای پردازش داده‌های مرتبط با یک نمودار یا شبکه اعمال شود
• توضیح می‌دهد که چگونه حساب گسسته یک تعریف طبیعی از \"فرکانس پایین\" را در یک نمودار ارائه می‌کند که سپس الگوریتم‌های فیلتر کردن و حذف نویز را به دست می‌دهد
• درباره اینکه چگونه الگوریتم‌های فیلتر می‌توانند منجر به الگوریتم‌های خوشه‌بندی شوند که می‌توانند برای توسعه روش‌های یادگیری چندگانه و کشف داده‌ها استفاده شوند، بحث می‌کند
• الگوریتم‌های رتبه‌بندی و همچنین الگوریتم‌هایی برای تجزیه و تحلیل ساختار شبکه را بررسی می‌کند. li>

دانشجویان و محققین فارغ التحصیل و علاقه مند به محاسبات گسسته، شبکه های پیچیده، پردازش تصویر و گرافیک کامپیوتری، این متن/مرجع را مقدمه ای روشن برای مبانی حساب گسسته و همچنین راهنمای مفیدی خواهند یافت که به راحتی می توانند داشته باشند. برای کارشان در دسترس است.

Dr. Leo J. Gradyیک دانشمند تحقیقاتی ارشد با تحقیقات شرکت زیمنس در پرینستون، نیوجرسی، ایالات متحده است. دکتر Jonathan R. Polimeniیک محقق در بیمارستان عمومی ماساچوست در بوستون، ماساچوست، ایالات متحده آمریکا، و مدرس رادیولوژی در دانشکده پزشکی هاروارد، بوستون، ماساچوست، ایالات متحده است.

The field of discrete calculus, also known as "discrete exterior calculus", focuses on finding a proper set of definitions and differential operators that make it possible to operate the machinery of multivariate calculus on a finite, discrete space. In contrast to traditional goals of finding an accurate discretization of conventional multivariate calculus, discrete calculus establishes a separate, equivalent calculus that operates purely in the discrete space without any reference to an underlying continuous process.

This unique text brings together into a single framework current research in the three areas of discrete calculus, complex networks, and algorithmic content extraction. Although there have been a few intersections in the literature between these disciplines, they have developed largely independently of one another, yet researchers working in any one of these three areas can strongly benefit from the tools and techniques being used in the others. Many example applications from several fields of computational science are provided to demonstrate the usefulness of this framework to a broad range of problems. Readers are assumed to be familiar with the basics of vector calculus, graph theory, and linear algebra.

Topics and features:

• Presents a thorough review of discrete calculus, with a focus on key concepts required for successful application
• Unifies many standard image processing algorithms into a common framework for viewing a wide variety of standard algorithms in filtering, clustering, and manifold learning that may be applied to processing data associated with a graph or network
• Explains how discrete calculus provides a natural definition of "low-frequency" on a graph, which then yields filtering and denoising algorithms
• Discusses how filtering algorithms can give rise to clustering algorithms, which can be used to develop manifold learning and data discovery methods
• Examines ranking algorithms, as well as algorithms for analyzing the structure of a network

Graduate students and researchers interested in discrete calculus, complex networks, image processing and computer graphics will find this text/reference a clear introduction to the foundations of discrete calculus as well as a useful guide to have readily available for their work.

Dr. Leo J. Grady is a Senior Research Scientist with Siemens Corporate Research in Princeton, New Jersey, USA. Dr. Jonathan R. Polimeni is a Research Fellow at the Massachusetts General Hospital in Boston, Massachusetts, USA, and Instructor in Radiology at Harvard Medical School, Boston, Massachusetts, USA.