Difference Methods and Their Extrapolations

محرک کار حاضر نیاز روزافزون به روش‌های عددی دقیق‌تر است. پیشرفت های سریع در فناوری رایانه، منابعی را برای محاسباتی که از روش هایی با دقت پایین استفاده می کنند، فراهم نکرده است. سرعت محاسبات کامپیوترها به طور مداوم در حال افزایش است، در حالی که حافظه هنوز هم زمانی که آرایه های بزرگ را مدیریت می کند، یک مشکل باقی می ماند. روش‌های عددی دقیق‌تر به ما این امکان را می‌دهند که زمان محاسبات کلی را به مقدار زیاد کاهش دهیم. چندین مرتبه مشکل یافتن کارآمدترین روش‌ها برای حل عددی معادلات، با فرض اندازه آرایه ثابت، از اهمیت بالایی برخوردار است. پیشرفت در علوم کاربردی، مانند آیرودینامیک، هیدرودینامیک، انتقال ذرات، و پراکندگی، تقاضای ریاضیات عددی را افزایش داده است. مدل‌های جدید ریاضی، که پدیده‌های فیزیکی مختلف را با جزئیات بیشتر از همیشه توصیف می‌کنند، تقاضاهای جدیدی را در ریاضیات کاربردی ایجاد می‌کنند و به عنوان یک محرک اصلی برای توسعه علوم رایانه عمل کرده‌اند. به عنوان مثال، هنگام بررسی پایداری سیالی که در اطراف یک جسم جریان دارد، باید شکل ویسکوزیته پایین معادلات هیدرودینامیکی خاصی را که جریان سیال را توصیف می‌کنند، حل کرد. روش‌های عددی معمول برای انجام این کار مستلزم معرفی \"ویسکوزیته محاسباتی\" است که معمولاً از مقدار فیزیکی فراتر می‌رود. نتایج به‌دست‌آمده، تصویری تحریف‌شده از پدیده‌های مورد مطالعه ارائه می‌دهد. وضعیت مشابهی در مطالعه رفتار اقیانوس ها با فرض تلاطم ضعیف ایجاد می شود. نمونه های اضافی زیادی از این نوع می توان ارائه داد.

The stimulus for the present work is the growing need for more accurate numerical methods. The rapid advances in computer technology have not provided the resources for computations which make use of methods with low accuracy. The computational speed of computers is continually increasing, while memory still remains a problem when one handles large arrays. More accurate numerical methods allow us to reduce the overall computation time by of magnitude. several orders The problem of finding the most efficient methods for the numerical solution of equations, under the assumption of fixed array size, is therefore of paramount importance. Advances in the applied sciences, such as aerodynamics, hydrodynamics, particle transport, and scattering, have increased the demands placed on numerical mathematics. New mathematical models, describing various physical phenomena in greater detail than ever before, create new demands on applied mathematics, and have acted as a major impetus to the development of computer science. For example, when investigating the stability of a fluid flowing around an object one needs to solve the low viscosity form of certain hydrodynamic equations describing the fluid flow. The usual numerical methods for doing so require the introduction of a "computational viscosity," which usually exceeds the physical value; the results obtained thus present a distorted picture of the phenomena under study. A similar situation arises in the study of behavior of the oceans, assuming weak turbulence. Many additional examples of this type can be given.