Counting with Symmetric Functions

این تک نگاری مقدمه ای مستقل از توابع متقارن و استفاده از آنها در ترکیبات شمارشی ارائه می دهد. این اولین کتابی است که بسیاری از روش ها و نتایج ارائه شده توسط نویسندگان را بررسی می کند. تمرین‌های متعددی همراه با راه‌حل‌های کامل برای نشان‌دادن مفاهیم و همچنین برجسته کردن بسیاری از ایده‌های جالب ریاضی گنجانده شده است.

متن با معرفی اشیاء ترکیبی اساسی مانند جایگشت‌ها و پارتیشن‌های عدد صحیح و همچنین تولید توابع آغاز می‌شود. توابع متقارن در فصل بعدی با تأکید منحصر به فرد بر ترکیبیات ماتریس های انتقال بین پایه های توابع متقارن در نظر گرفته می شوند. فصل 3 از این مطالب مقدماتی برای توصیف نحوه یافتن مجموعه ای از توابع تولید کننده برای آمار جایگشت استفاده می کند، و سپس این تکنیک ها برای یافتن توابع تولید برای انواع اشیاء در فصل 4 گسترش می یابد. الگوریتم و روشی برای اثبات قضیه شمارش پولیا با استفاده از توابع متقارن. فصل‌های 7 و 8 تخصصی‌تر از فصل‌های قبلی هستند و تطابق‌های الگوی متوالی را در جایگشت‌ها، کلمات، چرخه‌ها و جایگشت‌های متناوب پوشش می‌دهند و روش متقابل را به عنوان راهی برای تعریف هم‌مورفیسم‌های حلقه با ویژگی‌های مطلوب معرفی می‌کنند.

< i>شمارش با توابع متقارن برای دانشجویان فارغ التحصیل و محققین در ریاضیات یا موضوعات مرتبط که به روش های شمارش، تولید توابع یا توابع متقارن علاقه مند هستند، جذاب خواهد بود. رویکرد منحصربه‌فرد اتخاذ شده و نتایج و تمرین‌های کاوش شده توسط نویسندگان، آن را کمک مهمی به ادبیات ریاضی کرده است.

This monograph provides a self-contained introduction to symmetric functions and their use in enumerative combinatorics.  It is the first book to explore many of the methods and results that the authors present. Numerous exercises are included throughout, along with full solutions, to illustrate concepts and also highlight many interesting mathematical ideas.

The text begins by introducing fundamental combinatorial objects such as permutations and integer partitions, as well as generating functions.  Symmetric functions are considered in the next chapter, with a unique emphasis on the combinatorics of the transition matrices between bases of symmetric functions.  Chapter 3 uses this introductory material to describe how to find an assortment of generating functions for permutation statistics, and then these techniques are extended to find generating functions for a variety of objects in Chapter 4.  The next two chapters present the Robinson-Schensted-Knuth algorithm and a method for proving Pólya’s enumeration theorem using symmetric functions.  Chapters 7 and 8 are more specialized than the preceding ones, covering consecutive pattern matches in permutations, words, cycles, and alternating permutations and introducing the reciprocity method as a way to define ring homomorphisms with desirable properties.

Counting with Symmetric Functions will appeal to graduate students and researchers in mathematics or related subjects who are interested in counting methods, generating functions, or symmetric functions.  The unique approach taken and results and exercises explored by the authors make it an important contribution to the mathematical literature.