A First Course in Real Analysis (Undergraduate Texts in Mathematics)

Cover......Page 1
Title Page......Page 4
Copyright Page......Page 5
Preface......Page 8
Contents......Page 10
1.1. The field axioms......Page 14
1.2. The order axioms......Page 17
1.3. Bounded sets, LUB and GLB......Page 21
1.4. The completeness axiom (existence of LUB\'s)......Page 24
2.1. Dual of the completeness axiom (existence of GLB\'s)......Page 28
2.2. Archimedean property......Page 29
2.3. Bracket function......Page 32
2.4. Density of the rationals......Page 33
2.5. Monotone sequences......Page 34
2.6. Theorem on nested intervals......Page 36
2.7. Dedekind cut property......Page 39
2.8. Square roots......Page 41
2.9. Absolute value......Page 43
3.1. Bounded sequences......Page 46
3.2. Ultimately, frequently......Page 48
3.3. Null sequences......Page 49
3.4. Convergent sequences......Page 52
3.5. Subsequences, Weierstrass-Bolzano theorem......Page 56
3.6. Cauchy\'s criterion for convergence......Page 61
3.7. limsup and liminf of a bounded sequence......Page 63
4.1. Intervals......Page 69
4.2. Closed sets......Page 74
4.3. Open sets, neighborhoods......Page 78
4.4. Finite and infinite sets......Page 84
4.5. Heine-Borel covering theorem......Page 88
5.1. Functions, direct images, inverse images......Page 93
5.2. Continuity at a point......Page 97
5.3. Algebra of continuity......Page 101
5.4. Continuous functions......Page 103
5.5. One-sided continuity......Page 105
5.6. Composition......Page 109
6.1. Intermediate value theorem......Page 111
6.2. n\'th roots......Page 113
6.3. Continuous functions on a closed interval......Page 114
6.4. Monotonic continuous functions......Page 116
6.5. Inverse function theorem......Page 118
6.6. Uniform continuity......Page 119
7.1. Deleted neighborhoods......Page 123
7.2. Limits......Page 125
7.3. Limits and continuity......Page 128
7.4. e, 6 characterization of limits......Page 130
7.5.  Algebra of limits......Page 131
8.1. Differentiability......Page 134
8.2. Algebra of derivatives......Page 137
8.3. Composition (Chain Rule)......Page 139
8.4. Local max and min......Page 141
8.5. Mean value theorem......Page 142
9.1. Upper and lower integrals: the machinery......Page 148
9.2. First properties of upper and lower integrals......Page 155
9.3. Indefinite upper and lower integrals......Page 158
9.4. Riemann-integrable functions......Page 162
9.5. An application: log and exp......Page 167
9.6. Piecewise pleasant functions......Page 174
9.7. Darboux\'s theorem......Page 180
9.8. The integral as a limit of Riemann sums......Page 187
10.1. Infinite series: convergence, divergence......Page 192
10.2. Algebra of convergence......Page 196
10.3. Positive-term series......Page 197
10.4. Absolute convergence......Page 202
CHAPTER 11 Beyond the Riemann Integral......Page 207
11.1. Negligible sets......Page 209
11.2. Absolutely continuous functions......Page 216
11.3. The uniqueness theorem......Page 221
11.4. Lebesgue\'s criterion for Riemann-integrability......Page 224
11l.5. Lebesgue-integrable functions......Page 228
A. 1. Proofs, logical shorthand......Page 233
A.2. Set notations......Page 235
A.3. Functions......Page 237
A.4. Integers......Page 239
Index of Notations......Page 244
Index......Page 246
Back Cover......Page 251