Álgebra Lineal

Indice general
1. Operaciones asociativas 1
1.1. Semigruposymonoides.......................... 1 1.1.1. Tablasdemultiplicar....................... 2 1.1.2. Monoidesconcancelaci ́on .................... 5
1.2. Grupos................................... 6 1.2.1. Subgruposyrestriccio ́ndefunciones. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Anillos................................... 13 1.3.1. Productodecopiasdeunanillo.................. 15
2. Espacios vectoriales 19
2.1. Espaciosvectorialesysubespacios.................... 19 2.2. Elsubespaciogeneradoporunconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Dependenciaeindependencialineal ................... 32 2.4.Bases.................................... 35 2.5. Conjuntosparcialmenteordenados.................... 46 2.6. LemadeZorn............................... 50 2.7. Dimensio ́n................................. 52
3. Transformaciones lineales 67
3.1. Transformaciones lineales, nu ́cleos e im ́agenes.................................. 67
3.2. Lapropiedaduniversaldelasbases ................... 73
3.3. Lamatrizdeunatransformacio ́nlineal ................. 85
3.4. Sumayproductodematrices ...................... 94
3.5. Lamatrizdecambiodebase....................... 102
4. Sistemas de ecuaciones lineales 111
4.1. Operacioneselementales ......................... 111 4.1.1. Matricesreducidasyescalonadas ................ 118
4.2. Lainversadeunamatriz......................... 123
4.3. Sistemasdeecuaciones .......................... 126
4.4. Espaciosduales .............................. 136
4.4.1. C ́alculo de la base dual para un espacio de dimensio ́nfinita.......................... 137
4.4.2. Ladimensio ́ndelespaciodual .................. 140
4.5. Latranspuestadeunafuncio ́nlineal .................. 143
5. Espacios con producto interior I 151
5.1. Productosinteriores............................ 151
5.2. La norma inducida por un producto
interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.1. ElTeoremadeCauchy-Schwarz ................. 154
5.3. Latrazaylaadjuntadeunamatriz................... 156
5.4. Ortogonalidad y el Teorema de
Gram-Schmidt............................... 158 5.4.1. Matricesrespectoaunabaseortonormal . . . . . . . . . . . . 168 5.4.2. Representaci ́on de elementos del espacio dual . . . . . . . . . 169
5.5. Eloperadoradjunto ........................... 169
5.6. Propiedades del operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.7. Transformaciones lineales y productos
interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.8. OperadoresunitariosenR2........................ 177
5.9. Movimientosr ́ıgidos(Isometr ́ıas) .................... 179
6. Determinantes 185
6.1. Funcionesn-lineales............................ 185 6.1.1. Factorizacio ́n u ́nica como producto de ciclos . . . . . . . . . . 189 6.1.2. Estructura c ́ıclica y signo de una permutaci ́on . . . . . . . . . 195
6.2. El desarrollo por renglones del
determinante ............................... 213
6.3. Invertibilidadyeldeterminante ..................... 218
6.4. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.5. Similitud.................................. 226
7. Polinomios con coeficientes en R 231 7.1. Polinomiosyelalgoritmodeladivisi ́on . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.2. LaestructuraalgebraicadeR[�]..................... 238
viii
8. Vectores propios y diagonalizaci ́on 247
8.1. Vectoresyvalorespropios ........................ 247
8.2. Elpolinomiocaracter ́ıstico........................ 250
8.3. Espaciospropiosydiagonalizabilidad .................. 256
8.4. Matricesdiagonalizables ......................... 264
8.5. Elpolinomiom ́ınimo ........................... 270
8.5.1. El polinomio m ́ınimo y diagonalizabilidad . . . . . . . . . . . 273
9. Subespacios T-invariantes 283
9.1. Subespacios��invariantes........................ 283
9.2. SubespaciosT-c ́ıclicos .......................... 289
9.3. Polinomiocaracter ́ısticoypolinomio
m  ́ı n i m o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 2
9.4. ElTeoremadeCayley-Hamilton..................... 296
9.5. Diagonalizacio ́nsimult ́anea........................ 298
9.5.1. El centralizador de un operador diagonalizable . . . . . . . . . 303
10.Formas cano ́nicas 313
10.1.Lemasb ́asicosdedescomposici ́on .................... 313 10.2.Lamatrizcompan ̃eradeunpolinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 10.3. Matrices diagonales por bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.4.Elp-zoclo ................................. 320 10.5.Sumandosc ́ıclicos............................. 350 10.6.Espacioscociente ............................. 351 10.7.Formacan ́onicaracional ......................... 357
10.7.1.Diagramadepuntos ....................... 359 10.8.M ́asacercadelosdiagramasdepuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.9.Formacan ́onicadeJordan ........................ 373 10.10.CadenasdeMarkov............................ 382
10.10.1.L ́ımites............................... 382 10.10.2.Procesos aleatorios y Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . 389
11.Espacios con producto interior II 407
11.1. Operadores normales, autoadjuntos,
unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
11.2.Operadoresnormales,�=C....................... 408 11.3.Operadoresautoadjuntos,�=R .................... 410 11.4.Operadoresunitarios ........................... 413 11.5.Proyecciones................................ 413
ix
11.5.1. Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.6.Elteoremaespectral ........................... 418
Algunas notaciones utilizadas en el libro 423
Bibliograf ́ıa  ́Indice alfab ́etico
429 430