The Geometry of Discrete Groups

Title Page......Page 1
Copyright......Page 2
Dedication......Page 3
Preface......Page 5
Contents......Page 7
1.1.  Notation ......Page 11
1.2.  Inequalities   ......Page 12
1.4.  Topology ......Page 13
1.5.  Topological Groups ......Page 15
1.6.  Analysis ......Page 16
2.1.  Non-singular Matrices ......Page 19
2.2.  The Metric Structure......Page 21
2.3.  Discrete Groups ......Page 24
2.4.  Quaternions ......Page 26
2.5.  Unitary Matrices ......Page 27
3.1.  The Mobius Group on     ......Page 30
3.2.  Properties of M?ius Transformations       ......Page 38
3.3.  The Poincar?Extension                     ......Page 43
3.4.  Self-mappings of the Unit Ball             ......Page 46
3.5.  The General Form of a M?ius Transformation......Page 50
3.6.  Distortion Theorems  ......Page 52
3.7.  The Topological Group Structure            ......Page 55
3.8.  Notes         ......Page 64
4.1.  Representations by Quaternions             ......Page 66
4.2.  Representation by Matrices                    ......Page 70
4.3.  Fixed Points and Conjugacy Classes            ......Page 74
4.4.  Cross Ratios     ......Page 85
4.5.  The Topology on      ......Page 88
4.6.  Notes            ......Page 92
5.1.  The Elementary Groups   ......Page 93
5.2.  Groups with an Invariant Disc                 ......Page 102
5.3.  Discontinuous Groups    ......Page 104
5.4.  Jorgensen's Inequality ......Page 114
5.5.  Notes           ......Page 125
6.1.  Riemann Surfaces ......Page 126
6.2.  Quotient Spaces ......Page 127
6.3.   Stable Sets     ......Page 132
7.1.  The Hyperbolic Plane   ......Page 136
7.2.  The Hyperbolic Metric  ......Page 139
7.3.  The Geodesics   ......Page 144
7.4.   The Isometries  ......Page 146
7.5.   Convex Sets     ......Page 148
7.6.   Angles          ......Page 151
7.7.   Triangles       ......Page 152
7.8.   Notation        ......Page 154
7.9.   The Angle of Parallelism                     ......Page 155
7.11. Right-angled Triangles  ......Page 156
7.12. The Sine and Cosine Rules                     ......Page 158
7.13. The Area of a Triangle  ......Page 160
7.14. The Inscribed Circle    ......Page 161
7.15. The Area of a Polygon   ......Page 163
7.16. Convex Polygons  ......Page 164
7.17. Quadrilaterals   ......Page 166
7.18. Pentagons        ......Page 169
7.19. Hexagons         ......Page 170
7.20. The Distance of a Point front a Line          ......Page 172
7.21. The Perpendicular Bisector of a Segment       ......Page 174
7.22. The Common Orthogonal of Disjoint Geodesics   ......Page 175
7.25. The Bisector of Two Geodesics                 ......Page 176
7.26. Transversals     ......Page 177
7.27. The General Theory of Pencils                 ......Page 178
7.28. Parabolic Pencils......Page 179
7.30. Hyperbolic Pencils      ......Page 180
7.31, The Classification of Isometries              ......Page 181
7.33. Elliptic Isometries     ......Page 182
7,34. Hyperbolic Isometries   ......Page 183
7.35. The Displacement Function                     ......Page 184
7,36. Isometric Circles......Page 186
7.37. Canonical Regions......Page 187
7.38. The Geometry of Products of Isometries        ......Page 189
7.39. The Geometry of Commutators                   ......Page 194
7.40. Notes            ......Page 197
8.1.   Fuchsian Groups ......Page 198
8.2.   Purely Hyperbolic Groups                     ......Page 200
8.3.   Groups Without Elliptic Elements             ......Page 208
8.4.   Criteria for Discreteness                    ......Page 210
8.5.   The Nielsen Region     ......Page 212
8.6.   Notes           ......Page 213
9.1.   Fundamental Domains    ......Page 214
9.2.   Locally Finite Fundamental Domains           ......Page 216
9.3.   Convex Fundamental Polygons                  ......Page 227
9.4.   The Dirichiet Polygon  ......Page 236
9.5.   Generalized Dirichlet Polygons               ......Page 244
9.6.   Fundamental Domains for Coset Decompositions ......Page 248
9.7.   Side-Pairing Transformations                 ......Page 250
9.8.   Poincar?s Theorem     ......Page 252
9,9.   Notes           ......Page 262
101.   Finite Sided Fundamental Polygons              ......Page 263
10.2,  Points of Approximation  ......Page 268
10.3.  Conjugacy Classes ......Page 273
10.4,  The Signature of a Fuchsian Group              ......Page 278
10.5.  The Number of Sides of a Fundamental Polygon   ......Page 284
10.6.  Triangle Groups   ......Page 286
10.7.  Notes             ......Page 296
11.1.  Uniformity of Discreteness                     ......Page 297
11.2.  Universal Inequalities for Cycles of Vertices  ......Page 298
11.3.  Hecke Groups      ......Page 303
11.4.  Trace Inequalities......Page 305
11.5.  Three Elliptic Elements of Order Two           ......Page 311
11.6.  Universal Bounds on the Displacement Function  ......Page 318
11.7.  Canonical Regions and Quotient Surfaces        ......Page 334
11.8.  Notes             ......Page 337
References               ......Page 339
Index ......Page 345