Supersymmetry and trace formulae: chaos and disorder

حرکت یک ذره در یک پتانسیل تصادفی در دو یا چند بعد آشفته است و مسیرها در سیستم‌های دارای آشوب قطعی به طور مؤثر تصادفی هستند. بنابراین تعجبی ندارد که بین خواص کوانتومی سیستم های بی نظم و سیستم های آشفته ساده پیوندهایی وجود دارد. سوال اینجاست که این ارتباطات چقدر عمیق است؟ و تا چه حد تکنیک های ریاضی طراحی شده برای درک یک مسئله منجر به بینش جدیدی در مورد دیگر می شود؟ مشکل متعارف در تئوری سیستم‌های مزوسکوپی بی‌نظم، حرکت یک ذره در آرایه‌ای تصادفی از پراکنده‌ها است. هدف محاسبه خواص آماری، برای مثال، سطوح انرژی کوانتومی، توابع موج، و نوسانات رسانایی با میانگین گیری روی آرایه های مختلف است. یعنی با میانگین گیری بیش از مجموعه ای از تحقق های مختلف از پتانسیل تصادفی. در برخی رژیم‌ها، مربوط به مقیاس‌های انرژی که در مقایسه با فاصله سطح متوسط ​​بزرگ هستند، می‌توان این کار را با استفاده از نظریه آشفتگی نموداری انجام داد. در موارد دیگر، جایی که گسستگی طیف کوانتومی مهم می شود، چنین رویکردی با شکست مواجه می شود. یک روش قدرتمندتر که توسط افتوف ابداع شد، شامل نمایش توابع همبستگی بر حسب یک مدل سیگما غیرخطی فوق متقارن است. این امر در طیف گسترده‌تری از مقیاس‌های انرژی اعمال می‌شود و رژیم‌های آشفته و غیر آشفته را پوشش می‌دهد. با استفاده از این روش ثابت شد که همبستگی‌های سطح انرژی در سیستم‌های بی‌نظم با همبستگی‌های نظریه ماتریس تصادفی زمانی که رسانایی بی‌بعد به بی‌نهایت تمایل دارد، منطبق است.

The motion of a particle in a random potential in two or more dimensions is chaotic, and the trajectories in deterministically chaotic systems are effectively random. It is therefore no surprise that there are links between the quantum properties of disordered systems and those of simple chaotic systems. The question is, how deep do the connec­ tions go? And to what extent do the mathematical techniques designed to understand one problem lead to new insights into the other? The canonical problem in the theory of disordered mesoscopic systems is that of a particle moving in a random array of scatterers. The aim is to calculate the statistical properties of, for example, the quantum energy levels, wavefunctions, and conductance fluctuations by averaging over different arrays; that is, by averaging over an ensemble of different realizations of the random potential. In some regimes, corresponding to energy scales that are large compared to the mean level spacing, this can be done using diagrammatic perturbation theory. In others, where the discreteness of the quantum spectrum becomes important, such an approach fails. A more powerful method, devel­ oped by Efetov, involves representing correlation functions in terms of a supersymmetric nonlinear sigma-model. This applies over a wider range of energy scales, covering both the perturbative and non-perturbative regimes. It was proved using this method that energy level correlations in disordered systems coincide with those of random matrix theory when the dimensionless conductance tends to infinity.