Smooth Manifolds

این کتاب مقدمه‌ای بر تئوری منیفولدهای صاف ارائه می‌کند و به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا با ابزارهایی که برای تحقیقات ریاضی در مورد منیفولدهای صاف و هندسه دیفرانسیل نیاز دارند آشنا شوند. این کتاب در درجه اول بر موضوعات مربوط به منیفولدهای دیفرانسیل، فضاهای مماس، حساب دیفرانسیل چند متغیره، خواص توپولوژیکی منیفولدهای صاف، زیرمنیفولدهای تعبیه شده، قضیه سارد و قضیه تعبیه ویتنی تمرکز دارد. این به وضوح ساختار یافته است، به طور گسترده نشان داده شده است و شامل مثال های حل شده برای تمام مفاهیم مورد بحث است. چندین قضیه دشوار به لم ها و یادداشت های بسیاری (معادل لم های فرعی) تقسیم شده اند تا خوانایی کتاب افزایش یابد. علاوه بر این، هنگامی که یک مفهوم معرفی شد، برای اطمینان از درک مطلب، در سراسر کتاب تکرار می شود. قضیه رتبه، یکی از جنبه‌های حیاتی نظریه منیفولدهای صاف، در بسیاری از مظاهر از جمله قضیه رتبه برای فضای اقلیدسی و قضیه رتبه جهانی رخ می‌دهد. اگرچه این کتاب در درجه اول برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی ریاضیات در نظر گرفته شده است، اما برای محققان نیز مفید خواهد بود. پیش نیازهای این متن عمداً به حداقل رسیده است تا دانشجویان مقطع کارشناسی نیز بتوانند از آن بهره مند شوند. این یک اعتقاد ارزشمند است که "برهان های ریاضی هسته همه لذت های ریاضی هستند"، دیدگاهی که این کتاب به وضوح منعکس می کند.

This book offers an introduction to the theory of smooth manifolds, helping students to familiarize themselves with the tools they will need for mathematical research on smooth manifolds and differential geometry. The book primarily focuses on topics concerning differential manifolds, tangent spaces, multivariable differential calculus, topological properties of smooth manifolds, embedded submanifolds, Sard’s theorem and Whitney embedding theorem. It is clearly structured, amply illustrated and includes solved examples for all concepts discussed. Several difficult theorems have been broken into many lemmas and notes (equivalent to sub-lemmas) to enhance the readability of the book. Further, once a concept has been introduced, it reoccurs throughout the book to ensure comprehension. Rank theorem, a vital aspect of smooth manifolds theory, occurs in many manifestations, including rank theorem for Euclidean space and global rank theorem. Though primarily intended for graduate students of mathematics, the book will also prove useful for researchers. The prerequisites for this text have intentionally been kept to a minimum so that undergraduate students can also benefit from it. It is a cherished conviction that “mathematical proofs are the core of all mathematical joy,” a standpoint this book vividly reflects.