Skript: Lineare Algebra I

1
Grundlagen und algebraische Strukturen
1
1.1
Mengen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
Ringe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6
Restklassenkörper und Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . .
22
2
Lineare Abbildung und Matrizen
25
2.1
Vektorräume
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3
Gauss’sches Eliminationsverfahren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4
Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis . . . . . . . . . .
37
2.5
Äquivalenz von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.6
Ähnlichkeit von Matrizen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.7
Lineare Algebra über Ringen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3
Die Determinante
54
3.1
Symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.2
Multilineare Abbildungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.3
Determinante als normierte alternierende Abbildung
. . . . . . . . .
59
3.4
Weitere Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.5
Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4
Eigenwerte und Eigenvektoren
71
4.1
Definition und Diagonalisierbarkeitskriterium
. . . . . . . . . . . . .
72
4.2
Charakteristisches Polynom und Trigonalisierbarkeit
. . . . . . . . .
73
4.3
Satz von Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.4
Fundamentalsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
A Faktorzerlegungen eines Polynoms
83
B Injektivitäts- und Surjektivitätskriterium
86
C Deutsch-Englisches Vokabular
88