Sheaves, Games, and Model Completions: A Categorial Approach to Nonclassical Propositional Logics

این کتاب نمونه ای از تعامل ثمربخش بین گزاره شناسی (غیر کلاسیک) و نظریه مدل (کلاسیک) است که به دلیل منطق مقوله ای امکان پذیر شد. هدف اصلی آن بررسی وجود تکمیل‌های مدل برای نظریه‌های معادله‌ای برخاسته از منطق‌های گزاره‌ای (مانند نظریه جبر‌های هیتینگ و انواع مختلف نظریه‌های مرتبط با منطق مدال گزاره‌ای) است. معلوم می‌شود که وجود تکمیل‌های مدل به حقایق اثباتی-نظری مربوط به تفسیرپذیری منطق گزاره‌ای مرتبه دوم به منطق گزاره‌ای معمولی از طریق به‌اصطلاح کمی‌سازهای «پیتس» یا «کمی‌سازهای دوشبیه‌سازی» مرتبط است. از سوی دیگر، کتاب تعداد زیادی از موضوعات مربوط به ساختار طبقه‌بندی جبرهای ارائه‌شده محدود را با کاربردهای مرتبط با منطق گزاره‌ای، هم استاندارد (مانند قضایای بث) و هم جدید (مانند اثربخشی روابط هم ارزی درونی، طرح‌ریزی و تعریف‌پذیری) توسعه می‌دهد. از اتصالات دوگانه مانند تفاوت). تأکید ویژه‌ای بر نمایش شیف است، و نشان می‌دهد که بسیاری از ساختار طبقه‌بندی خوب جبرهای ارائه‌شده محدود در واقع تنها محدودیتی از ساختار طبیعی در شیف‌ها است. کاربردهای تئوری طبقه بندی توپوزها نیز پوشش داده شده است که نمونه های جدیدی به دست می دهد. این کتاب باید عمدتاً به عنوان یک کتاب تحقیقاتی در نظر گرفته شود که نتایج اخیر و اغلب کاملاً جدید را در این زمینه گزارش می کند. ما معتقدیم که می تواند به عنوان یک کتاب مکمل برای دوره های تحصیلات تکمیلی در منطق مقوله ای و جبری، جبر جهانی، نظریه مدل، و منطق غیر کلاسیک نیز مفید باشد. 1.

This book is an example of fruitful interaction between (non-classical) propo­ sitionallogics and (classical) model theory which was made possible due to categorical logic. Its main aim consists in investigating the existence of model­ completions for equational theories arising from propositional logics (such as the theory of Heyting algebras and various kinds of theories related to proposi­ tional modal logic ). The existence of model-completions turns out to be related to proof-theoretic facts concerning interpretability of second order propositional logic into ordinary propositional logic through the so-called 'Pitts' quantifiers' or 'bisimulation quantifiers'. On the other hand, the book develops a large number of topics concerning the categorical structure of finitely presented al­ gebras, with related applications to propositional logics, both standard (like Beth's theorems) and new (like effectiveness of internal equivalence relations, projectivity and definability of dual connectives such as difference). A special emphasis is put on sheaf representation, showing that much of the nice categor­ ical structure of finitely presented algebras is in fact only a restriction of natural structure in sheaves. Applications to the theory of classifying toposes are also covered, yielding new examples. The book has to be considered mainly as a research book, reporting recent and often completely new results in the field; we believe it can also be fruitfully used as a complementary book for graduate courses in categorical and algebraic logic, universal algebra, model theory, and non-classical logics. 1.