Semigroup Methods for Evolution Equations on Networks

این متن مختصر بر اساس مجموعه‌ای از سخنرانی‌ها است که فقط چند سال پیش برگزار شد و در ابتدا به عنوان مقدمه‌ای بر نتایج شناخته شده در معادلات هذلولی و سهمی خطی در نظر گرفته شده است. با این حال، موضوع معادلات دیفرانسیل در نمودارها، فضاهای شاخه‌ای، و اشیاء شبکه‌مانند عمومی‌تر اخیراً شتاب قابل‌توجهی یافته است و فراتر از محدودیت‌های ریاضیات، یک گفتمان میان رشته‌ای پر جنب و جوش در مورد همه جنبه‌های به اصطلاح شبکه‌های پیچیده وجود دارد. چنین ساختارهای شبکه مانندی را می توان تقریباً در تمام شاخه های علوم، مهندسی و علوم انسانی یافت، و بنابراین تحقیقات آینده مستلزم ایجاد مبانی نظری محکم است.

این کتاب به طور خاص به مطالعه معادلات تکامل اختصاص دارد - یعنی. معادلات دیفرانسیل وابسته به زمان مانند معادله گرما، معادله موج یا معادله شرودینگر (نمودارهای کوانتومی) - با در نظر گرفتن اینکه اکثر ادبیات در ده سال گذشته در مورد معادلات دیفرانسیل نمودارها بوده است. به معادلات بیضوی و مسائل طیفی مرتبط اختصاص داده شده است. علاوه بر این، برای مقابله با کلی ترین تنظیمات - به عنوان مثال. کدگذاری شده در شرایط انتقال در گره های شبکه - یکی از ابزارهای کلاسیک و ظریف، نیمه گروه های اپراتور است. این کتاب به طور همزمان مقدمه ای بسیار مختصر برای این نظریه و راهنمای کاربردهای آن در معادلات دیفرانسیل در شبکه ها است. تا حد امکان مختصر، روان و مستقل باشد. علاوه بر این، فصل مختصری که به حوزه نورودینامیک قشر مغز اختصاص داده شده است، پیوند مشخصی را با تحقیقات کاربردی در حال انجام ارائه می دهد.

This concise text is based on a series of lectures held only a few years ago and originally intended as an introduction to known results on linear hyperbolic and parabolic equations. Yet the topic of differential equations on graphs, ramified spaces, and more general network-like objects has recently gained significant momentum and, well beyond the confines of mathematics, there is a lively interdisciplinary discourse on all aspects of so-called complex networks. Such network-like structures can be found in virtually all branches of science, engineering and the humanities, and future research thus calls for solid theoretical foundations.

This book is specifically devoted to the study of evolution equations – i.e., of time-dependent differential equations such as the heat equation, the wave equation, or the Schrödinger equation (quantum graphs) – bearing in mind that the majority of the literature in the last ten years on the subject of differential equations of graphs has been devoted to elliptic equations and related spectral problems. Moreover, for tackling the most general settings - e.g. encoded in the transmission conditions in the network nodes - one classical and elegant tool is that of operator semigroups. This book is simultaneously a very concise introduction to this theory and a handbook on its applications to differential equations on networks.
With a more interdisciplinary readership in mind, full proofs of mathematical statements have been frequently omitted in favor of keeping the text as concise, fluid and self-contained as possible. In addition, a brief chapter devoted to the field of neurodynamics of the brain cortex provides a concrete link to ongoing applied research.