Representations of Integers as Sums of Squares

در طول سال تحصیلی 1980-1981، من در مؤسسه فناوری اسراییل تکنیون در حیفا تدریس می کردم. تماشاگران کوچک بودند، اما شامل شنوندگانی با استعداد و مشتاق بودند. متأسفانه، پس زمینه آنها بسیار متفاوت بود. چه چیزی می تواند به چنین مخاطبی ارائه دهد تا عدالت را در مورد همه آنها رعایت کند؟ من تصمیم گرفتم نمایش اعداد صحیح طبیعی را به عنوان مجموع مربع ها مورد بحث قرار دهم، که از ابتدایی ترین سطح شروع می شود، اما با این هدف که تا آنجا که ممکن است در برخی از جهات مختلف که خود را ارائه می دهند (اشکال درجه دوم، نظریه جنس ها، تعمیم ها) پیش ببرم. و تحولات مدرن و غیره) با توجه به علایق مخاطب. چند هفته پس از شروع سال تحصیلی، نامه‌ای از پروفسور جیان کارلو روتا دریافت کردم که در آن پیشنهاد شد دست‌نویسی را برای دایره‌المعارف علوم ریاضی به سردبیری او ارائه دهم. من پاسخ دادم که نسخه خطی آماده ای برای ارائه ندارم، اما می توانم از یادداشت هایم در مورد نمایش اعداد صحیح با مجموع مربع ها به عنوان مبنای یکی استفاده کنم. در واقع، در آن زمان من قبلاً در مورد امکان چنین کتابی فکر کرده بودم و در واقع ایده های کاملاً دقیقی در مورد نوع کتابی که می خواستم باشد داشتم.

During the academic year 1980-1981 I was teaching at the Technion-the Israeli Institute of Technology-in Haifa. The audience was small, but con­ sisted of particularly gifted and eager listeners; unfortunately, their back­ ground varied widely. What could one offer such an audience, so as to do justice to all of them? I decided to discuss representations of natural integers as sums of squares, starting on the most elementary level, but with the inten­ tion of pushing ahead as far as possible in some of the different directions that offered themselves (quadratic forms, theory of genera, generalizations and modern developments, etc.), according to the interests of the audience. A few weeks after the start of the academic year I received a letter from Professor Gian-Carlo Rota, with the suggestion that I submit a manuscript for the Encyclopedia of Mathematical Sciences under his editorship. I answered that I did not have a ready manuscript to offer, but that I could use my notes on representations of integers by sums of squares as the basis for one. Indeed, about that time I had already started thinking about the possibility of such a book and had, in fact, quite precise ideas about the kind of book I wanted it to be.