Real Mathematical Analysis

Cover......Page 1
Preface......Page 6
Contents......Page 8
1 Preliminaries......Page 12
2 Cuts......Page 21
3 Euclidean Space......Page 32
4 Cardinality......Page 39
5* Comparing Cardinalities......Page 45
6* The Skeleton of Calculus......Page 47
Exercises......Page 51
1 Metric Space Concepts......Page 62
2 Compactness......Page 87
3 Connectedness......Page 93
4 Coverings......Page 99
5 Cantor Sets......Page 106
6* Cantor Set Lore......Page 110
7* Completion......Page 119
Exercises......Page 126
1 Differentiation......Page 150
2 Riemann Integration......Page 165
3 Series......Page 190
Exercises......Page 197
1 Uniform Convergence and C°[a, b]......Page 212
2 Power Series......Page 222
3 Compactness and Equicontinuity in C°......Page 224
4 Uniform Approximation in C°......Page 228
5 Contractions and ODE\'s......Page 239
6* Analytic Functions......Page 246
7* Nowhere Differentiate Continuous Functions......Page 251
8* Spaces of Unbounded Functions......Page 259
Exercises......Page 262
1 Linear Algebra......Page 278
2 Derivatives......Page 282
3 Higher derivatives......Page 290
4 Smoothness Classes......Page 295
5 Implicit and Inverse Functions......Page 297
6* The Rank Theorem......Page 301
7* Lagrange Multipliers......Page 307
8 Multiple Integrals......Page 311
9 Differential Forms......Page 324
10 The General Stokes\'Formula......Page 336
11* The Brouwer Fixed Point Theorem......Page 345
Appendix A: Perorations of Dieudonne......Page 348
Appendix B: The History of Cavalieri\'s Principle......Page 349
Appendix C: A Short Excursion into the Complex Field......Page 350
Appendix D: Polar Form......Page 351
Appendix E: Determinants......Page 353
Exercises......Page 356
1 Outer measure......Page 374
2 Measurability......Page 378
3 Regularity......Page 382
4 Lebesgue integrals......Page 387
5 Lebesgue integrals as limits......Page 394
6 Italian Measure Theory......Page 398
7 Vitali coverings and density points......Page 402
8 Lebesgue\'s Fundamental Theorem of Calculus......Page 407
9 Lebesgue\'s Last Theorem......Page 412
Appendix A: Translations and Nonmeasurable sets......Page 418
Appendix C: Riemann integrals as undergraphs......Page 420
Appendix D: Littlewood\'s Three Principles......Page 422
Appendix E: Roundness......Page 423
Appendix F : Money......Page 424
Suggested Reading......Page 425
Bibliography......Page 426
Exercises......Page 428
Index......Page 442