Random Fourier Series with Applications to Harmonic Analysis

در این کتاب نویسندگان اولین شرایط لازم و کافی برای همگرایی یکسان a.s. سری تصادفی فوریه در گروه‌های آبلی فشرده محلی و گروه‌های غیر آبلی فشرده. آنها همچنین نتایج مرتبط زیادی را به دست می آورند. به عنوان مثال، هرگاه یک سری تصادفی فوریه به طور یکنواخت همگرا شود a.s. همچنین قضیه حد مرکزی را برآورده می کند. روش‌های توسعه‌یافته برای مطالعه برخی از سؤالات در تحلیل هارمونیک استفاده می‌شوند که ذاتاً تصادفی نیستند. برای مثال، توصیف جدیدی از مجموعه‌های سیدون به دست آمده است.

نتایج عمده به شدت به شرط ضروری و کافی دادلی-فرنیک برای تداوم فرآیندهای گاوسی ثابت و به کار اخیر روی مبالغی از فضای مستقل Banach متغیرهای تصادفی ارزش گذاری شده است. قابل توجه است که پس از تعریف مناسب سری فوریه تصادفی، اثبات های مورد آبلی بلافاصله به حالت غیر آبلی گسترش می یابد. در انجام این کار، نویسندگان نتایج جدیدی را بر روی مجموع ماتریس های تصادفی مستقل با عناصر در فضای Banach به دست می آورند. فصل آخر کتاب چندین جهت را برای تحقیقات بیشتر پیشنهاد می کند.

In this book the authors give the first necessary and sufficient conditions for the uniform convergence a.s. of random Fourier series on locally compact Abelian groups and on compact non-Abelian groups. They also obtain many related results. For example, whenever a random Fourier series converges uniformly a.s. it also satisfies the central limit theorem. The methods developed are used to study some questions in harmonic analysis that are not intrinsically random. For example, a new characterization of Sidon sets is derived.

The major results depend heavily on the Dudley-Fernique necessary and sufficient condition for the continuity of stationary Gaussian processes and on recent work on sums of independent Banach space valued random variables. It is noteworthy that the proofs for the Abelian case immediately extend to the non-Abelian case once the proper definition of random Fourier series is made. In doing this the authors obtain new results on sums of independent random matrices with elements in a Banach space. The final chapter of the book suggests several directions for further research.