Positive Polynomials: From Hilbert’s 17th Problem to Real Algebra

مثبت یکی از اساسی ترین مفاهیم ریاضی است. در بسیاری از حوزه های ریاضیات (مانند تجزیه و تحلیل، هندسه جبری واقعی، تجزیه و تحلیل تابعی، و غیره) به عنوان مثبت بودن یک چند جمله ای در زیر مجموعه خاصی از R^n نشان داده می شود که خود اغلب توسط نابرابری های چند جمله ای داده می شود. هدف اصلی کتاب ارائه توصیفات مفید از این چندجمله‌ای است. این مسئله هفدهمین مسئله هیلبرت از سال 1900 را به عنوان نقطه شروع می گیرد و توضیح می دهد که چگونه حل آن مشکل توسط E. Artin در نهایت منجر به توسعه جبر واقعی در پایان قرن بیستم شد. فراتر از دانش پایه در جبر، تنها به نظریه ارزش گذاری که در پیوست توضیح داده شده است، نیاز است. بنابراین تک نگاری همچنین می تواند به عنوان پایه ای برای یک دوره 2 ترم در جبر واقعی باشد.

Positivity is one of the most basic mathematical concepts. In many areas of mathematics (like analysis, real algebraic geometry, functional analysis, etc.) it shows up as positivity of a polynomial on a certain subset of R^n which itself is often given by polynomial inequalities. The main objective of the book is to give useful characterizations of such polynomials. It takes as starting point Hilbert's 17th Problem from 1900 and explains how E. Artin's solution of that problem eventually led to the development of real algebra towards the end of the 20th century. Beyond basic knowledge in algebra, only valuation theory as explained in the appendix is needed. Thus the monograph can also serve as the basis for a 2-semester course in real algebra.