Parametric Continuation and Optimal Parametrization in Applied Mathematics and Mechanics

یک دهه از مشکلات تغییر شکل غیرخطی، اولین کتاب E.I. گریگولیوک: و V.I. شالاشیلین منتشر شد. آن کار یک حساب سیستماتیک از روش ادامه پارامتری ارائه کرد. از آن زمان، درک این روش به اندازه کافی گسترش یافته است. قبلاً این روش به عنوان راهی برای ساخت مجموعه حل مسائل غیرخطی با یک پارامتر در نظر گرفته می شد. اکنون مشخص شده است که یک الگوریتم تداوم پارامتری می تواند به طور موثر برای ایجاد هر مجموعه پارامتری کار کند. این واقعیت به طور قابل توجهی کاربردهای بالقوه آن را گسترش می دهد. منحنی ساده ترین مثال از چنین مجموعه ای است و می توان از آن برای حل مسائل مختلف از جمله مسئله کوشی برای معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE)، درون یابی و تقریب منحنی ها و غیره استفاده کرد. تحقیقات در این زمینه به نتایج هیجان انگیزی منجر شده است. . جالب ترین آنها درک و اثبات این واقعیت است که طول قوس محاسبه شده در امتداد این منحنی حل، پارامتر ادامه بهینه برای این راه حل است. ما به حل ادامه با پارامتر بهینه به عنوان بهترین پارامترسازی اشاره خواهیم کرد و در این کتاب این روش را برای متغیرهای c1مسائل مسائل اعمال کرده ایم: در فصل 1 به مسائل غیر خطی با یک پارامتر، در فصل های 2 و 3 به مقدار اولیه. مسائل برای ODE، به ویژه برای مسائل سخت، در فصل 4 و 5 معادلات دیفرانسیل دیفرانسیل جبری و تابعی.

A decade has passed since Problems of Nonlinear Deformation, the first book by E.I. Grigoliuk: and V.I. Shalashilin was published. That work gave a systematic account of the parametric continuation method. Ever since, the understanding of this method has sufficiently broadened. Previously this method was considered as a way to construct solution sets of nonlinear problems with a parameter. Now it is c1ear that one parametric continuation algorithm can efficiently work for building up any parametric set. This fact significantly widens its potential applications. A curve is the simplest example of such a set, and it can be used for solving various problems, inc1uding the Cauchy problem for ordinary differential equations (ODE), interpolation and approximation of curves, etc. Research in this area has led to exciting results. The most interesting of such is the understanding and proof of the fact that the length of the arc calculated along this solution curve is the optimal continuation parameter for this solution. We will refer to the continuation solution with the optimal parameter as the best parametrization and in this book we have applied this method to variable c1asses of problems: in chapter 1 to non-linear problems with a parameter, in chapters 2 and 3 to initial value problems for ODE, in particular to stiff problems, in chapters 4 and 5 to differential-algebraic and functional differential equations.