Orthogonal Polynomials and Special Functions: Computation and Applications

توابع خاص و چند جمله ای های متعامد به طور خاص قرن هاست که وجود داشته اند. آیا می توانید ریاضیات را بدون توابع مثلثاتی، تابع نمایی یا چند جمله ای تصور کنید؟ در قرن بیستم تأکید بر توابع ویژه‌ای بود که معادلات دیفرانسیل خطی را برآورده می‌کردند، اما اکنون به معادلات تفاضلی، معادلات دیفرانسیل جزئی و معادلات دیفرانسیل غیرخطی بسط داده شده است.

مجموعه یادداشت های سخنرانی حاضر شامل هفت فصل در مورد وضعیت فعلی چند جمله ای های متعامد و توابع ویژه است و دیدگاهی در مورد مسائل باز و جهت گیری های آینده ارائه می دهد. موضوعات عبارتند از: روش ها و نرم افزارهای محاسباتی برای ربع و تقریب، مسائل تعادلی در نظریه پتانسیل لگاریتمی، چندجمله ای های متعامد گسسته و همگرایی روش های فضای فرعی کریلوف در جبر خطی عددی، توابع گویا متعامد و ماتریس متعامد متعامد در چندین تابع گویا متعامد. چند جمله‌ای) و جداسازی متغیرها، طبقه‌بندی خانواده‌های محدود چندجمله‌ای متعامد در طرح آسکی با استفاده از جفت‌های لئونارد، و توابع ویژه غیرخطی مرتبط با معادلات Painlevé.

Special functions and orthogonal polynomials in particular have been around for centuries. Can you imagine mathematics without trigonometric functions, the exponential function or polynomials? In the twentieth century the emphasis was on special functions satisfying linear differential equations, but this has now been extended to difference equations, partial differential equations and non-linear differential equations.

The present set of lecture notes containes seven chapters about the current state of orthogonal polynomials and special functions and gives a view on open problems and future directions. The topics are: computational methods and software for quadrature and approximation, equilibrium problems in logarithmic potential theory, discrete orthogonal polynomials and convergence of Krylov subspace methods in numerical linear algebra, orthogonal rational functions and matrix orthogonal rational functions, orthogonal polynomials in several variables (Jack polynomials) and separation of variables, a classification of finite families of orthogonal polynomials in Askey’s scheme using Leonard pairs, and non-linear special functions associated with the Painlevé equations.