Numerische Mathematik: Eine Einführung anhand von Differentialgleichungsproblemen Band 1: Stationäre Probleme

Mathematik Kompakt......Page 1
Numerische Mathematik, Band 1: Stationäre Probleme......Page 4
ISBN 9783764384265......Page 5
Table of Contents......Page 6
Vorwort......Page 7
1 Einleitung......Page 9
Ergänzende Hinweise......Page 14
2 Ein erstes Beispiel einer Variationsformulierung......Page 15
Variationsformulierung......Page 16
Schwache Ableitungen......Page 18
Sobolew-Räume......Page 20
Der Spuroperator......Page 21
Das endgültige Variationsproblem......Page 22
Übungsaufgaben......Page 24
Das abstrakte Problem......Page 27
Der Rieszsche Darstellungssatz......Page 28
Der allgemeine Fall......Page 31
Das dazugehörige Iterationsverfahren......Page 34
Fehlerabschätzungen......Page 35
Die Kondition des Problems......Page 36
Der symmetrische und nicht-negative Fall......Page 37
Anwendung auf das Randwertproblem......Page 39
Übungsaufgaben......Page 40
4 Die Galerkin-Methode......Page 43
4.1 Ein Beispiel einer Finite-Elemente-Methode......Page 44
Basis und Steifigkeitsmatrix......Page 45
Element-Steifigkeitsmatrizen......Page 47
Die äquivalente Finite-Differenzen-Methode......Page 51
4.2 Der Diskretisierungsfehler......Page 52
Der Satz von C´ea......Page 53
Der Interpolationsfehler......Page 54
Der symmetrische Fall......Page 57
Übungsaufgaben......Page 58
5.1 Kondition des Problems......Page 61
Der Rayleigh-Quotient......Page 65
5.2 Konditionszahl der Steifigkeitsmatrix......Page 68
Übungsaufgaben......Page 72
6.1 Der Algorithmus......Page 73
Anzahl der Operationen......Page 76
Dreieckszerlegungen......Page 77
Dreieckszerlegungen für Bandmatrizen......Page 80
Gleichungssysteme mit mehreren rechten Seiten......Page 82
Rundungsfehler......Page 83
Rückwärtsanalyse......Page 86
Pivotsuche......Page 87
Ergänzende Hinweise......Page 88
Übungsaufgaben......Page 89
7 Erweiterung auf lineare mehrdimensionale Randwertprobleme......Page 91
Variationsformulierung......Page 92
Der Spuroperator......Page 93
Elliptizität......Page 94
Finite-Elemente-Methoden......Page 95
Übungsaufgaben......Page 100
8.1 Das Richardson-Verfahren......Page 101
Konvergenzanalyse......Page 102
Anzahl der Iterationen......Page 104
Die Wahl der Norm und das Abbruchkriterium......Page 106
8.2 Das Gradientenverfahren......Page 107
Konvergenzanalyse......Page 110
Krylow-Unterräume......Page 111
Das CG-Verfahren......Page 112
Konvergenzanalyse für das CG-Verfahren......Page 115
8.4 Präkonditionierung......Page 120
Der symmetrische und positiv definite Fall......Page 121
Zur Wahl von C......Page 122
Ein erster Versuch......Page 123
Unterraum-Korrektur-Methoden......Page 124
Additive Schwarz-Methoden......Page 125
Multiplikative Schwarz-Methoden......Page 126
Hierarchische Raumaufspaltungen......Page 129
Die dazugehörige additive Schwarz-Methode......Page 130
Eine dazugehörige multiplikative Schwarz-Methode......Page 131
Das PCG-Verfahren......Page 132
Übungsaufgaben......Page 133
9 Erweiterung auf nichtlineare Randwertprobleme......Page 135
Variationsformulierung......Page 136
Eine nichtlineare Version des Satzes von Lax-Milgram......Page 137
Diskretisierung......Page 140
Übungsaufgaben......Page 142
10 Das Newton-Verfahren......Page 143
Berechnung der Quadratwurzel......Page 147
Das diskretisierte nichtlineare Modellproblem......Page 148
Das gedämpfte Newton-Verfahren......Page 152
Übungsaufgaben......Page 153
Literaturverzeichnis......Page 155
Index......Page 157