Numerical Models for Differential Problems

در این متن، مفاهیم اساسی برای مدل‌سازی عددی معادلات دیفرانسیل جزئی را معرفی می‌کنیم. ما معادلات خطی کلاسیک بیضوی، سهمی و هذلولی را در نظر می گیریم، بلکه معادلات انتشار، انتقال، و ناویر استوکس، و همچنین معادلاتی را که قوانین حفاظت، مسائل نقطه زینی و مسائل کنترل بهینه را نشان می دهند، در نظر می گیریم. علاوه بر این، مثال‌های فیزیکی متعددی ارائه می‌کنیم که زیر این معادلات تأکید می‌کنند. سپس روش‌های حل عددی مبتنی بر عناصر محدود، تفاوت‌های محدود، حجم‌های محدود، روش‌های طیفی و روش‌های تجزیه دامنه، و روش‌های پایه کاهش‌یافته را تحلیل می‌کنیم. به طور خاص، ما جنبه‌های پیاده‌سازی الگوریتمی و کامپیوتری را مورد بحث قرار می‌دهیم و تعدادی برنامه آسان برای استفاده را ارائه می‌کنیم. این متن به هیچ دانش ریاضی پیشرفته قبلی در مورد معادلات دیفرانسیل جزئی نیاز ندارد: مفاهیم کاملاً ضروری در یک فصل مقدماتی گزارش شده است. بنابراین برای دانشجویان دوره های کارشناسی و کارشناسی ارشد در رشته های علمی مناسب است و به آن دسته از محققین در حوزه دانشگاهی و فوق دانشگاهی که می خواهند به این شاخه جالب از ریاضیات کاربردی نزدیک شوند توصیه می شود.

In this text, we introduce the basic concepts for the numerical modelling of partial differential equations. We consider the classical elliptic, parabolic and hyperbolic linear equations, but also the diffusion, transport, and Navier-Stokes equations, as well as equations representing conservation laws, saddle-point problems and optimal control problems. Furthermore, we provide numerous physical examples which underline such equations. We then analyze numerical solution methods based on finite elements, finite differences, finite volumes, spectral methods and domain decomposition methods, and reduced basis methods. In particular, we discuss the algorithmic and computer implementation aspects and provide a number of easy-to-use programs. The text does not require any previous advanced mathematical knowledge of partial differential equations: the absolutely essential concepts are reported in a preliminary chapter. It is therefore suitable for students of bachelor and master courses in scientific disciplines, and recommendable to those researchers in the academic and extra-academic domain who want to approach this interesting branch of applied mathematics.