Nonlinear Optimization in Finite Dimensions: Morse Theory, Chebyshev Approximation, Transversality, Flows, Parametric Aspects

در قلب توپولوژی بهینه‌سازی جهانی، نظریه مورس قرار دارد: مطالعه رفتار مجموعه‌های سطح پایین‌تر از توابع با تغییر سطح. به طور کلی، توپولوژی مجموعه‌های سطوح پایین‌تر ممکن است تنها در هنگام عبور از سطحی که مربوط به یک نقطه ثابت (یا نقطه کاروش-کوهن تاکر) است، تغییر کند. ما عناصر نظریه مورس را، هم در مورد نامحدود و هم در حالت مقید مطالعه می‌کنیم. توجه ویژه ای به درجه تمایز پذیری توابع مورد بررسی می شود. خواننده انگیزه پیدا می‌کند تا در مورد اشکال و اشکال احتمالی توابع که ممکن است در یک چارچوب مشکل ایجاد شوند، بحث کند. در فصلی جداگانه نشان می‌دهیم که چگونه می‌توان ایده‌های خاصی را به موارد غیرهموار منتقل کرد، مانند مسائلی از نوع تقریب چبیشف. ما این انتخاب را به این منظور انجام دادیم که نشان دهیم درک خوب مسائل هموار منظم ممکن است به درمان مستقیم مشکلات پیوسته «فقط» با استفاده از تکنیک‌های اغتشاش مناسب، با در نظر گرفتن عدم یکنواختی پیشینی منجر شود. علاوه بر این، ما یک تجزیه و تحلیل نقطه کانونی انجام می دهیم تا بر تفاوت بین هنجارهای محصول داخلی و، به عنوان مثال، حداکثر هنجار تأکید کنیم. سپس، ابزارهای خاص از توپول شناسی جبری، به ویژه نظریه همسانی، با جزئیات مورد بررسی قرار می گیرند. با این حال، این توسعه تنها تا آنجا انجام می شود که برای درک رابطه بین نقاط بحرانی یک تابع در یک منیفولد با مرز ساختاریافته لازم باشد. سپس به سه موضوع مهم در بهینه سازی غیرخطی می پردازیم.

At the heart of the topology of global optimization lies Morse Theory: The study of the behaviour of lower level sets of functions as the level varies. Roughly speaking, the topology of lower level sets only may change when passing a level which corresponds to a stationary point (or Karush-Kuhn­ Tucker point). We study elements of Morse Theory, both in the unconstrained and constrained case. Special attention is paid to the degree of differentiabil­ ity of the functions under consideration. The reader will become motivated to discuss the possible shapes and forms of functions that may possibly arise within a given problem framework. In a separate chapter we show how certain ideas may be carried over to nonsmooth items, such as problems of Chebyshev approximation type. We made this choice in order to show that a good under­ standing of regular smooth problems may lead to a straightforward treatment of "just" continuous problems by means of suitable perturbation techniques, taking a priori nonsmoothness into account. Moreover, we make a focal point analysis in order to emphasize the difference between inner product norms and, for example, the maximum norm. Then, specific tools from algebraic topol­ ogy, in particular homology theory, are treated in some detail. However, this development is carried out only as far as it is needed to understand the relation between critical points of a function on a manifold with structured boundary. Then, we pay attention to three important subjects in nonlinear optimization.