Nonlinear Analysis on Manifolds. Monge-Ampère Equations

این جلد در نظر گرفته شده است تا به ریاضیدانان و فیزیکدانان، به ویژه تحلیلگران، اجازه دهد تا در مورد مسائل غیرخطی که در هندسه ریمانی بوجود می آیند، بیاموزند. تجزیه و تحلیل بر روی منیفولدهای ریمانی حوزه ای است که در حال حاضر در حال توسعه بزرگ است. بیشتر و بیشتر، تجزیه و تحلیل ثابت می کند که ابزار بسیار قدرتمندی برای حل مسائل هندسی است. برعکس، هندسه ممکن است به ما در حل مسائل خاصی در تحلیل کمک کند. دلایل مختلفی وجود دارد که موضوع دشوار و جالب است. بسیار بزرگ و تقریبا ناشناخته است. از سوی دیگر، مسائل هندسی اغلب به موارد محدودی از مسائل شناخته شده در تحلیل منجر می‌شوند، حتی گاهی اوقات بیش از یک رویکرد وجود دارد و مطالعات نظری موجود برای حل آنها ناکافی است. هر مشکلی مشکلات خاص خود را دارد. با این وجود، روش‌های استانداردی وجود دارد که مفید هستند و برای اعمال آنها باید بدانیم. نباید فراموش کرد که مسائل ما با انگیزه هندسه هستند و یک استدلال هندسی ممکن است مسئله مورد بررسی را ساده کند. نمونه هایی از این نوع هنوز بسیار نادر هستند. این کار نه مطالعه سیستماتیک یک رشته ریاضی است و نه ارائه بسیاری از دانش نظری. برعکس، تمام تلاشم را می کنم که متن را به دانش ضروری محدود کنم. من تا حد امکان مفاهیم کمتری را تعریف می کنم و فقط قضایای اساسی را ارائه می کنم که برای موضوع ما مفید هستند. اما امیدوارم که خواننده این را برای حل سایر مسائل هندسی با تجزیه و تحلیل کافی بیابد.

This volume is intended to allow mathematicians and physicists, especially analysts, to learn about nonlinear problems which arise in Riemannian Geometry. Analysis on Riemannian manifolds is a field currently undergoing great development. More and more, analysis proves to be a very powerful means for solving geometrical problems. Conversely, geometry may help us to solve certain problems in analysis. There are several reasons why the topic is difficult and interesting. It is very large and almost unexplored. On the other hand, geometric problems often lead to limiting cases of known problems in analysis, sometimes there is even more than one approach, and the already existing theoretical studies are inadequate to solve them. Each problem has its own particular difficulties. Nevertheless there exist some standard methods which are useful and which we must know to apply them. One should not forget that our problems are motivated by geometry, and that a geometrical argument may simplify the problem under investigation. Examples of this kind are still too rare. This work is neither a systematic study of a mathematical field nor the presentation of a lot of theoretical knowledge. On the contrary, I do my best to limit the text to the essential knowledge. I define as few concepts as possible and give only basic theorems which are useful for our topic. But I hope that the reader will find this sufficient to solve other geometrical problems by analysis.