Noether's Theorem and Symmetry

در ارائه اصلی نوتر از قضیه مشهور او در سال 1918، برای وابستگی توابع ضریب عملگر دیفرانسیل که تبدیل نامتناهی انتگرال عمل را بر مشتقات متغیر(های) وابسته ایجاد می‌کند، در نظر گرفته شد. - تقارن های تعمیم یافته یا دینامیکی نامیده می شود. کمک هزینه مشابهی را می توان در متغیرهای تابع مرزی یافت که اغلب توسط کسانی که مقاله اصلی را نخوانده اند تابع سنج می نامند. این کلیت پس از آنکه متونی مانند متن‌های کورانت و هیلبرت یا لاولاک و راند توجه را تنها به تبدیل‌های نقطه‌ای محدود کردند، از بین رفت. در دهه‌های اخیر، این کاهش قدرت قضیه نوتر تا حدی، به ویژه در بررسی سارلت و کانترین، مورد مقابله قرار گرفته است. در این شماره ویژه، ما بر کلیت قضیه نوتر در شکل اصلی آن تأکید می‌کنیم و کاربرد توابع ضریب عمومی‌تر را با اجازه دادن به عبارت‌های غیرمحلی بررسی می‌کنیم. ما همچنین به کاربرد این تقارن‌های عمومی‌تر برای مسائلی که در آنها پارامترها یا توابع پارامتری وابستگی کلی تری به متغیرهای مستقل دارند نگاه می‌کنیم.

In Noether's original presentation of her celebrated theorem of 1918, allowances were made for the dependence of the coefficient functions of the differential operator which generated the infinitesimal transformation of the Action Integral upon the derivatives of the dependent variable(s), the so-called generalized, or dynamical, symmetries. A similar allowance is to be found in the variables of the boundary function, often termed a gauge function by those who have not read the original paper. This generality was lost after texts such as those of Courant and Hilbert or Lovelock and Rund confined attention to only point transformations. In recent decades, this diminution of the power of Noether's Theorem has been partly countered, in particular, in the review of Sarlet and Cantrijn. In this Special Issue, we emphasize the generality of Noether's Theorem in its original form and explore the applicability of even more general coefficient functions by allowing for nonlocal terms. We also look at the application of these more general symmetries to problems in which parameters or parametric functions have a more general dependence upon the independent variables.