Moments, monodromy, and perversity: a diophantine perspective

اکنون حدود سی سال از زمانی که دلاین برای اولین بار قضیه توزیع همسان کلی خود را اثبات کرد، می گذرد، بنابراین نتیجه اساسی حاکم بر ویژگی های آماری خانواده های جبری-هندسی مناسب "خالص" از مجموع کاراکترها در میدان های محدود (و L مربوط به آنها) را ایجاد کرد. -کارکرد). به طور کلی، دلاین نشان داد که چنین خانواده‌ای از «قانون تعمیم‌یافته ساتو تیت» تبعیت می‌کند، و اینکه بفهمیم کدام قانون تعمیم‌یافته ساتو تیت برای یک خانواده معین اعمال می‌شود، اساساً برای محاسبه یک جبری پیچیده نیمه‌ساده (نه لزوماً متصل) معین است. گروه، «گروه تک‌درومی هندسی» متصل به آن خانواده.

تا کنون، تقریباً تمام تکنیک‌ها برای تعیین گروه‌های تک‌درومی هندسی، حداقل تا حدی، بر اطلاعات محلی متکی بوده‌اند. نیکلاس کاتز در «لحظه‌ها، مونودرومی و انحراف» تکنیک‌های جدیدی را توسعه می‌دهد که ماهیت قاطعانه‌ای جهانی دارند. آنها بر اساس دو عنصر حیاتی هستند که هیچ کدام در زمان کار اصلی دلاین در مورد این موضوع وجود نداشت. اولین مورد، تئوری قرقره های انحرافی است که توسط گورسکی و مک فرسون در زمینه توپولوژیکی پیشگام شد و سپس توسط بیلینسون، برنشتاین، دلین و گبر به شکلی درخشان به هندسه جبری منتقل شد. دومی آلترناتیو لارسن است که تقریباً گروه‌های کلاسیک را در چهارمین لحظه‌شان مشخص می‌کند. این تکنیک‌های جدید که به خودی خود بسیار جالب هستند، ابتدا توسعه یافته و سپس برای محاسبه گروه‌های تک‌درمی هندسی متصل به برخی خانواده‌های جهانی کاملاً خاص از مجموع کاراکترها (ال-توابع متصل به) در میدان‌های محدود استفاده می‌شوند.

It is now some thirty years since Deligne first proved his general equidistribution theorem, thus establishing the fundamental result governing the statistical properties of suitably "pure" algebro-geometric families of character sums over finite fields (and of their associated L-functions). Roughly speaking, Deligne showed that any such family obeys a "generalized Sato-Tate law," and that figuring out which generalized Sato-Tate law applies to a given family amounts essentially to computing a certain complex semisimple (not necessarily connected) algebraic group, the "geometric monodromy group" attached to that family.

Up to now, nearly all techniques for determining geometric monodromy groups have relied, at least in part, on local information. In Moments, Monodromy, and Perversity , Nicholas Katz develops new techniques, which are resolutely global in nature. They are based on two vital ingredients, neither of which existed at the time of Deligne's original work on the subject. The first is the theory of perverse sheaves, pioneered by Goresky and MacPherson in the topological setting and then brilliantly transposed to algebraic geometry by Beilinson, Bernstein, Deligne, and Gabber. The second is Larsen's Alternative, which very nearly characterizes classical groups by their fourth moments. These new techniques, which are of great interest in their own right, are first developed and then used to calculate the geometric monodromy groups attached to some quite specific universal families of (L-functions attached to) character sums over finite fields.