Minimax Algebra

تعدادی از مسائل مختلف مورد علاقه محقق عملیاتی و اقتصاددان ریاضی - به عنوان مثال، مسائل معینی از بهینه‌سازی در نمودارها و شبکه‌ها، زمان‌بندی ماشین، تحلیل محدب و نظریه تقریبی - را می‌توان در یک فرمول‌بندی کرد. روشی مناسب با استفاده از ساختار جبری (R,$,@) که در آن ما ممکن است R را به عنوان سیستم اعداد واقعی (بسط یافته) با عملیات ترکیب دودویی x$y, x®y که حداکثر (x,y) تعریف شده است در نظر بگیریم. (x+y) به ترتیب. استفاده از این ساختار جبری به این مسائل ویژگی مسائل جبر خطی یا نظریه عملگر خطی را می دهد. این واقعیت hB.s به طور مستقل توسط تعدادی از افرادی که در زمینه های مختلف و در نمادهای مختلف کار می کردند کشف شد و نقطه شروع یادداشت های سخنرانی حاضر متقاعد کردن نویسنده بود که زمان ارائه یک گزارش یکپارچه از جبر فرا رسیده است. تبدیل خطی فضاهای n-tuples روی (R,$,®)، برای نشان دادن ارتباط آن با تحقیقات عملیاتی و ارائه راه حل برای مسائل استاندارد خطی-جبری که بوجود می آیند - به عنوان مثال. حل معادلات خطی دقیقاً یا تقریباً، مسئله مقدار ویژه بردار ویژه و غیره. برخی از این مطالب حاوی نتایج تحقیقاتی است که تاکنون منتشر نشده است که توسط نویسنده در طول سالهای 1970-1977 انجام شده است.

A number of different problems of interest to the operational researcher and the mathematical economist - for example, certain problems of optimization on graphs and networks, of machine-scheduling, of convex analysis and of approx­ imation theory - can be formulated in a convenient way using the algebraic structure (R,$,@) where we may think of R as the (extended) real-number system with the binary combining operations x$y, x®y defined to be max(x,y),(x+y) respectively. The use of this algebraic structure gives these problems the character of problems of linear algebra, or linear operator theory. This fact hB.s been independently discovered by a number of people working in various fields and in different notations, and the starting-point for the present Lecture Notes was the writer's persuasion that the time had arrived to present a unified account of the algebra of linear transformations of spaces of n-tuples over (R,$,®),to demonstrate its relevance to operational research and to give solutions to the standard linear-algebraic problems which arise - e.g. the solution of linear equations exactly or approximately, the eigenvector­ eigenvalue problem andso on.Some of this material contains results of hitherto unpublished research carried out by the writer during the years 1970-1977.