Mathematik mit Simulationen lehren und lernen : Plus 2000 Beispiele aus der Physik

Cover......Page 1
Zielsetzung und Struktur des digitalen Buchs......Page 20
Verzeichnisse......Page 21
Bedienung und technische Konventionen......Page 23
Ein Simulationsbeispiel: Moebiusband......Page 25
Mathematik als ,,Sprache der Physik``......Page 28
Physik und Infinitesimalrechnung......Page 29
Natürliche Zahlen......Page 31
Ganze Zahlen......Page 34
Rationale Zahlen......Page 35
Algebraische Zahlen......Page 36
Die Zahl  und die Quadratur des Kreises nach Archimedes......Page 37
Reelle Zahlen......Page 41
Darstellung als Paar reeller Zahlen......Page 42
Normaldarstellung mit ,,imaginärer Einheit i``......Page 44
Komplexe Ebene......Page 47
Darstellung in Polarkoordinaten......Page 48
Simulation von komplexer Addition und Subtraktion......Page 49
Simulation von komplexer Multiplikation und Division......Page 51
Erweiterungen der Arithmetik......Page 52
Folge und Reihe der natürlichen Zahlen......Page 55
Geometrische Reihe......Page 56
Grenzwert, Limes......Page 57
Fibonacci-Folge......Page 60
Komplexe geometrische Folge und Reihe......Page 62
Komplexe exponentielle Folge und Exponentialreihe......Page 64
Zahlen in Mathematik und Physik......Page 68
Reelle Folge mit nichtlinearem Bildungsgesetz: Logistische Folge......Page 71
Komplexe Folge mit nichtlinearem Bildungsgesetz: Fraktale......Page 77
Definition von Funktionen......Page 83
Differenzenquotient und Differentialquotient......Page 84
Potenzen und Polynome......Page 85
Winkelfunktionen......Page 87
Weitere Ableitungen von Grundfunktionen......Page 88
Koeffizienten der Taylorreihe......Page 89
Näherungsformeln für einfache Funktionen......Page 93
Ableitung von Formeln und Fehlergrenzen bei der numerischen Differentiation......Page 94
Interaktive Visualisierung von Taylorentwicklungen......Page 95
Funktionen mit ein bis drei Variablen......Page 98
Funktionen von vier Variablen: Weltlinie in der speziellen Relativitätstheorie......Page 101
Allgemeine Eigenschaften von Funktionen y=f(x)......Page 103
,,Exotische`` Funktionen......Page 104
Grenzübergang zum Differentialquotienten......Page 105
Ableitung und Differentialgleichungen......Page 108
Phasenraum-Diagramme......Page 109
Definition der Stammfunktion durch ihre Differentialgleichung......Page 110
Bestimmtes Integral und Anfangswert......Page 111
Integral als Grenzwert einer Summe......Page 112
Riemannsche Integraldefinition......Page 114
Lebesgue-Integral......Page 116
Regeln für die analytische Integration......Page 117
Numerische Integrationsmethoden......Page 118
Fehlerabschätzung bei numerischer Integration......Page 120
Taylorreihe und Fourierreihe......Page 122
Bestimmung der Fourier-Koeffizienten......Page 123
Veranschaulichung der Berechnung von Koeffizienten undSpektrum......Page 125
Beispiele für Fourier-Entwicklungen......Page 127
Komplexe Fourierreihen......Page 129
Numerische Lösung von Gleichungen: Iterationsverfahren......Page 130
Standard-Funktionen y = f ( x)......Page 133
Einige physikalisch wichtige Funktionen y = f ( x)......Page 137
Standardfunktionen zweier Variablen z = f ( x, y)......Page 140
Wellen im Raum z = f (x , y)......Page 144
Parameterdarstellung von Flächen im Raum x = fx( p, q );y = fy( p, q ); z = fz( p, q)......Page 146
Parameterdarstellung von Kurven im Raum x = fx( t ); y = fy( t );z = fz( t )......Page 149
Konforme Abbildung......Page 151
Komplexe Potenzfunktion......Page 152
Komplexe Exponentialfunktion......Page 156
Komplexer Cosinus......Page 159
Komplexer Tangens......Page 161
Komplexer Logarithmus......Page 162
Vektoren und Operatoren als ,,Kurzschrift`` für n-Tupel von Zahlen und Funktionen......Page 165
3D-Visualisierung von Vektoren......Page 166
Addition und Subtraktion......Page 169
Vektorprodukt, Äußeres Produkt......Page 170
Visualisierung der Grundoperationen für Vektoren......Page 171
Visualisierungsmöglichkeiten für Skalar- und Vektorfelder......Page 173
Grundformalismen der Vektoranalysis......Page 174
Potentialfelder von Punktquellen als 3D-Fläche......Page 177
Ebene Vektorfelder......Page 179
3D-Bewegung einer Punktladung in einem homogenen elektromagnetischen Feld......Page 184
Allgemeines......Page 188
Differentialgleichungen als ,,Erzeugende`` von Funktionen......Page 189
Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen......Page 196
Numerische Lösungsverfahren, Anfangswertproblem......Page 197
Explizites Euler-Verfahren......Page 199
Heun-Verfahren......Page 200
Runge-Kutta-Verfahren......Page 203
Weiterentwicklungen......Page 204
Vergleich von Euler-, Heun- und Runge-Kutta-Verfahren......Page 205
Differentialgleichung erster Ordnung......Page 207
Differentialgleichung zweiter Ordnung......Page 211
Differentialgleichungen für Oszillatoren und Schwerependel......Page 215
Schlussfolgerungen für den Charakter von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen......Page 218
Chaotische Lösungen von gekoppelten Differentialgleichungen......Page 219
Einige wichtige partielle Differentialgleichungen der Physik......Page 225
Simulation der Schrödingergleichung......Page 228
Simulation der Wellengleichung einer schwingenden Saite......Page 231
Simulationen mittels OSP/EJS-Programm......Page 233
Eine kurze Einführung in EJS (Easy Java Simulation)......Page 235
Veröffentlichte EJS-Simulationen......Page 242
Felder und Potentiale......Page 243
Mathematik, Differentialgleichungen......Page 244
Mechanik......Page 246
Optik......Page 249
Oszillatoren und Pendel......Page 250
Relativitätstheorie......Page 252
Wellen......Page 253
Sonstiges......Page 255
OSP-Simulationen, die nicht mit EJS erstellt wurden......Page 257
Liste der OSP-Launcherpakete......Page 259
In Launcher verpackte EJS-Simulationen......Page 263
Kosmologische Simulationen von Eugene Butikov......Page 264
Schlussbemerkung......Page 269