Mathematical Methods for Hydrodynamic Limits

نابرابری‌های آنتروپی، توابع همبستگی، جفت شدن بین فرآیندهای تصادفی تکنیک‌های قدرتمندی هستند که به طور گسترده برای ارائه پایه‌ای دقیق به نظریه سیستم‌های اجزای پیچیده و کاربردهای فراوان آن در زمینه‌های مختلف مانند فیزیک، زیست‌شناسی، جمعیت استفاده شده‌اند. دینامیک، اقتصاد، ... هدف کتاب این است که با بررسی جزئیات چند مدل که در آن تکنیک ها به وضوح ظاهر می شوند، در حالی که مشکلات اضافی به حداقل ممکن می رسد، این و سایر روش های ریاضی را برای خوانندگان با پیشینه محدود در احتمال و فیزیک در دسترس قرار دهد. . روش لنفورد و گسترش آن به سلسله مراتب معادلات برای توابع همبستگی کوتاه، توابع v، برای اثبات اعتبار معادلات ماکروسکوپی برای سیستم‌های ذرات تصادفی که آشفتگی‌های فرآیندهای حذف ساده مستقل و متقارن هستند، ارائه و اعمال می‌شود. نابرابری های آنتروپی در چارچوب تکنیک Guo-Papanicolaou-Varadhan و تخمین های فوق نمایی کیپنیس-اولا-وارادان با اشاره به مدل های برد صفر مورد بحث قرار می گیرند. معادلات سرعت گسسته بولتزمن، معادلات انتشار واکنش و معادلات سهموی غیر خطی، به عنوان حد مدل های ذرات در نظر گرفته شده اند. پدیده‌های جداسازی فاز در چارچوب تحولات گلابر + کاوازاکی و معادلات انتشار واکنش مورد بحث قرار می‌گیرند. اگرچه تأکید بر جنبه‌های ریاضی است، انگیزه‌های فیزیکی از طریق تحلیل مدل‌های منفرد، بدون تلاش برای بررسی کل موضوع حدود هیدرودینامیکی توضیح داده می‌شوند.

Entropy inequalities, correlation functions, couplings between stochastic processes are powerful techniques which have been extensively used to give arigorous foundation to the theory of complex, many component systems and to its many applications in a variety of fields as physics, biology, population dynamics, economics, ... The purpose of the book is to make theseand other mathematical methods accessible to readers with a limited background in probability and physics by examining in detail a few models where the techniques emerge clearly, while extra difficulties arekept to a minimum. Lanford's method and its extension to the hierarchy of equations for the truncated correlation functions, the v-functions, are presented and applied to prove the validity of macroscopic equations forstochastic particle systems which are perturbations of the independent and of the symmetric simple exclusion processes. Entropy inequalities are discussed in the frame of the Guo-Papanicolaou-Varadhan technique and of theKipnis-Olla-Varadhan super exponential estimates, with reference to zero-range models. Discrete velocity Boltzmann equations, reaction diffusion equations and non linear parabolic equations are considered, as limits of particles models. Phase separation phenomena are discussed in the context of Glauber+Kawasaki evolutions and reaction diffusion equations. Although the emphasis is onthe mathematical aspects, the physical motivations are explained through theanalysis of the single models, without attempting, however to survey the entire subject of hydrodynamical limits.