Lie Algebras of Bounded Operators

در چندین اثبات از تئوری جبرهای Lie-بعد محدود، سهم اساسی از ساختار متعارف جردن از نقشه های خطی است که بر روی فضاهای برداری با بعد محدود عمل می کنند. از سوی دیگر، نتایج کلاسیکی در مورد جبرهای دروغ وجود دارد که به ما توصیه می‌کند از فضاهای برداری بی‌بعدی نیز استفاده کنیم. به عنوان مثال، قضیه دروغ کلاسیک ادعا می کند که تمام نمایش های تقلیل ناپذیر محدود بعدی جبرهای دروغ قابل حل، یک بعدی هستند. از این رو، از این نظر، جبرهای Lie قابل حل را نمی توان از یکدیگر متمایز کرد، یعنی نمی توان آنها را طبقه بندی کرد. حتی این مثال به تنهایی فضاهای برداری بی‌بعدی را ترغیب می‌کند که روی صحنه ظاهر شوند. اما ساختار نقشه های خطی در چنین فضایی خیلی کم درک شده است. برای این نقشه های خطی نمی توان در مورد چیزی مانند ساختار متعارف جردن ماتریس ها صحبت کرد. خوشبختانه کلاس بزرگی از نقشه های خطی در فضاهای برداری با ابعاد دلخواه وجود دارد که دارای برخی ویژگی های مشترک با ماتریس ها هستند. منظور ما عملگرهای خطی محدود در فضای پیچیده Banach است. انواع خاصی از عملگرهای محدود (مانند عملگرهای طیفی Dunford، Foia§ تجزیه پذیر، اسکالار تعمیم یافته یا کلوژارا طیفی تعمیم یافته) در واقع حتی از نوعی قضیه تجزیه جردن لذت می برند. یکی از اهداف کتاب حاضر بیان مهمترین نتایج بدست آمده با استفاده از عملگرهای کراندار در مطالعه جبرهای دروغ است.

In several proofs from the theory of finite-dimensional Lie algebras, an essential contribution comes from the Jordan canonical structure of linear maps acting on finite-dimensional vector spaces. On the other hand, there exist classical results concerning Lie algebras which advise us to use infinite-dimensional vector spaces as well. For example, the classical Lie Theorem asserts that all finite-dimensional irreducible representations of solvable Lie algebras are one-dimensional. Hence, from this point of view, the solvable Lie algebras cannot be distinguished from one another, that is, they cannot be classified. Even this example alone urges the infinite-dimensional vector spaces to appear on the stage. But the structure of linear maps on such a space is too little understood; for these linear maps one cannot speak about something like the Jordan canonical structure of matrices. Fortunately there exists a large class of linear maps on vector spaces of arbi­ trary dimension, having some common features with the matrices. We mean the bounded linear operators on a complex Banach space. Certain types of bounded operators (such as the Dunford spectral, Foia§ decomposable, scalar generalized or Colojoara spectral generalized operators) actually even enjoy a kind of Jordan decomposition theorem. One of the aims of the present book is to expound the most important results obtained until now by using bounded operators in the study of Lie algebras.