Lectures on Nonlinear Evolution Equations: Initial Value Problems

این کتاب عمدتاً به عنوان مقدمه ای ابتدایی و مستقل برای چندین جنبه مهم نظریه راه حل های جهانی برای مسائل ارزش اولیه برای معادلات تکامل غیرخطی عمل می کند. این کتاب از روش کلاسیک ادامه راه حل های محلی با کمک تخمین های پیشینی به دست آمده برای داده های کوچک استفاده می کند. وجود و منحصربه‌فرد بودن راه‌حل‌های کوچک و صاف که برای تمام مقادیر پارامتر زمان تعریف شده‌اند، بررسی می‌شوند. علاوه بر این، رفتار مجانبی راه‌حل‌ها با گرایش زمان به بی‌نهایت توصیف می‌شود. روش‌های معادلات موج غیرخطی به تفصیل مورد بحث قرار گرفته‌اند. نمونه های دیگر عبارتند از معادلات الاستیسیته، معادلات حرارتی، معادلات ترموالاستیسیته، معادلات شرودینگر، معادلات کلاین-گوردون، معادلات ماکسول و معادلات صفحه. برای تأکید بر اهمیت مطالعه شرایطی که در آن مشکلات داده های کوچک راه حل های جهانی ارائه می دهند، برخی از نتایج انفجاری به طور خلاصه شرح داده می شوند. علاوه بر این، چشم انداز مسائل مربوط به مقدار مرزی اولیه و سوالات باز ارائه شده است.

در این ویرایش دوم، مشکلات مقدار مرزی اولیه در موجبرها نیز در نظر گرفته شده است.

This book mainly serves as an elementary, self-contained introduction to several important aspects of the theory of global solutions to initial value problems for nonlinear evolution equations. The book employs the classical method of continuation of local solutions with the help of a priori estimates obtained for small data. The existence and uniqueness of small, smooth solutions that are defined for all values of the time parameter are investigated. Moreover, the asymptotic behaviour of the solutions is described as time tends to infinity. The methods for nonlinear wave equations are discussed in detail. Other examples include the equations of elasticity, heat equations, the equations of thermoelasticity, Schrödinger equations, Klein-Gordon equations, Maxwell equations and plate equations. To emphasize the importance of studying the conditions under which small data problems offer global solutions, some blow-up results are briefly described. Moreover, the prospects for corresponding initial boundary value problems and for open questions are provided.

In this second edition, initial-boundary value problems in waveguides are additionally considered.