Laurent Series and their Padé Approximations

مسئله تقریب Pade، به طور کلی، تقریب محلی توابع تحلیلی یا مرومورفیک توسط توابع منطقی است. مهم است که حل مقیاس بزرگی از مسائل در تجزیه و تحلیل عددی، نظریه سیستم خطی، استوکاستیک و سایر زمینه ها مهم است. ادبیات گسترده ای در مورد مسئله کلاسیک پاد وجود دارد. با این حال، این مقالات بیشتر مشکل را برای توابع تحلیلی در 0 یا، به معنای صرفا جبری، آنها تقریب سری توان رسمی را درمان می کنند. با این حال، برای مشکلات خاص، مسئله تقریب Pade برای سری رسمی Laurent، به جای برای سری های قدرت رسمی، مبنای طبیعی تری به نظر می رسد. در این تک نگاری، مشکل تقریب لوران-پاد محوری است. در این مسئله نسبتی از دو چند جمله‌ای لورن را جستجو می‌کنیم که دو جهت سری لوران را به طور همزمان تقریب می‌کند. به عنوان یک نتیجه جانبی، مشکل تقریب Pade دو نقطه ای را می توان حل کرد. در آن صورت، دو سری تقریبی می شوند، یکی سری توانی در z و دیگری سری توانی در z-l. بنابراین می‌توانیم دو تابع، نه لزوماً متفاوت، یکی در صفر و دیگری در بی‌نهایت تقریب کنیم.

The Pade approximation problem is, roughly speaking, the local approximation of analytic or meromorphic functions by rational ones. It is known to be important to solve a large scale of problems in numerical analysis, linear system theory, stochastics and other fields. There exists a vast literature on the classical Pade problem. However, these papers mostly treat the problem for functions analytic at 0 or, in a purely algebraic sense, they treat the approximation of formal power series. For certain problems however, the Pade approximation problem for formal Laurent series, rather than for formal power series seems to be a more natural basis. In this monograph, the problem of Laurent-Pade approximation is central. In this problem a ratio of two Laurent polynomials in sought which approximates the two directions of the Laurent series simultaneously. As a side result the two-point Pade approximation problem can be solved. In that case, two series are approximated, one is a power series in z and the other is a power series in z-l. So we can approximate two, not necessarily different functions one at zero and the other at infinity.