Introduction to Vector and Tensor Analysis

این مقدمه گسترده برای تجزیه و تحلیل برداری و تانسور برای دانشجویان پیشرفته کارشناسی یا کارشناسی ارشد در ریاضیات، فیزیک و مهندسی و همچنین برای مهندس یا فیزیکدانی که به درک نظری از این ابزارهای اساسی ریاضی نیاز دارد، طراحی شده است. در سال‌های اخیر، رویکرد برداری حتی به نوشته‌های مربوط به جنبه‌های زیست‌شناسی، اقتصاد و سایر علوم راه پیدا کرده است.
موضوعات متعدد و متنوعی که تحت پوشش قرار می‌گیرند عبارتند از: جبر بردارها - وابستگی و استقلال خطی، معادلات تبدیل، حاصل ضرب درونی، حاصل ضرب متقاطع و جبر ماتریس ها. تمایز بردارها - هندسه منحنی‌های فضا، سینماتیک، چارچوب‌های مرجع متحرک، مدارهای نیوتنی و نظریه نسبیت خاص. تمایز جزئی بردارها - هندسه منحنی‌های فضا، سینماتیک، چارچوب‌های مرجع متحرک، مدارهای نیوتنی و نظریه نسبیت خاص. تمایز جزئی و مفاهیم مرتبط - نمایش‌های سطحی، مبانی در سیستم‌های مختصات کلی، و حداکثر و حداقل توابع دو متغیر. ادغام بردارها - انتگرال خط، انتگرال سطح، تانسور سطح و انتگرال حجمی. جبر تانسور و تجزیه و تحلیل - مفاهیم اساسی فضای n، تبدیل‌ها و تانسورها، هندسه ریمانی، فرآیندهای تمایز تانسور، ژئودزیک، تانسور انحنای و ویژگی‌های جبری آن، و نظریه نسبیت عام.
در سراسر پروفسور Wrede بر روابط متقابل بین تأکید می‌کند. جبر و هندسه و مکررا از یکی به دیگری حرکت می کند. همانطور که او اشاره می کند، تحلیل برداری و تانسور نوعی پل بین جنبه های ابتدایی جبر خطی، هندسه و تحلیل ایجاد می کند. او از نماد کلاسیک برای تجزیه و تحلیل برداری استفاده می کند، اما نماد جدید مناسب تری برای تانسورها معرفی می کند که با نماد برداری رایج همبستگی دارد. او بر شواهد تاکید می‌کند و هر بخش را با مجموعه‌ای از مسائل به پایان می‌رساند که به دانش‌آموز کمک می‌کند تا ایده‌ها را درک کند و به تنهایی آنها را به طور کامل کاوش کند. رویکرد او ترکیبی از مطالب مهم تاریخی با تحولات به روز در هر دو زمینه است. دانش آنالیز بردار و تانسور که از این طریق به دست می آید، آمادگی عالی برای مطالعات بیشتر در هندسه دیفرانسیل، ریاضیات کاربردی و فیزیک نظری است.

This broad introduction to vector and tensor analysis is designed for the advanced undergraduate or graduate student in mathematics, physics, and engineering as well as for the practicing engineer or physicist who needs a theoretical understanding of these essential mathematical tools. In recent years, the vector approach has found its way even into writings on aspects of biology, economics, and other sciences.
The many and various topics covered include: the algebra of vectors — linear dependence and independence, transformation equations, the inner product, the cross product, and the algebra of matrixes; the differentiation of vectors — geometry of space curves, kinematics, moving frames of reference, Newtonian orbits and special relativity theory; partial differentiation of vectors — geometry of space curves, kinematics, moving frames of reference, Newtonian orbits and special relativity theory; partial differentiation and associated concepts — surface representations, bases in general coordinate systems, and maxima and minima of functions of two variables; the integration of vectors — line integrals, surface integrals, surface tensors and volume integrals; tensor algebra and analysis — fundamental notions of  n-space, transformations and tensors, Riemannian geometry, tensor processes of differentiation, geodesics, the curvature tensor and its algebraic properties, and general relativity theory.
Throughout, Professor Wrede stresses the interrelationships between algebra and geometry, and moves frequently from one to the other. As he points out, vector and tensor analysis provides a kind of bridge between elementary aspects of linear algebra, geometry and analysis. He uses the classical notation for vector analysis, but introduces a more appropriate new notation for tensors, which he correlates with the common vector notation. He stresses proofs and concludes each section with a set of problems designed to help the student get a solid grasp of the ideas, and explore them more thoroughly on his own. His approach features a combination of important historical material with up-to-date developments in both fields. The knowledge of vector and tensor analysis gained in this way is excellent preparation for further studies in differential geometry, applied mathematics, and theoretical physics.