Introduction to Structurally Stable Systems of Differential Equations

این کتاب بر اساس یک دوره یک ساله سخنرانی در مورد پایداری ساختاری معادلات دیفرانسیل است که نویسنده در چندین سال گذشته در گروه ریاضیات و مکانیک در دانشگاه لنینگراد ارائه کرده است. تئوری پایداری سازه در 25 سال گذشته به شدت توسعه یافته است. این نظریه اکنون حوزه وسیعی از ریاضیات است که روابط نزدیکی با نظریه کیفی کلاسیک معادلات دیفرانسیل، توپولوژی دیفرانسیل و تجزیه و تحلیل در منیفولدها دارد. بدیهی است که ارائه گزارش کامل و دقیق از تمام نتایج بنیادی این نظریه در طول یک دوره یک ساله غیرممکن است. بنابراین هدف از دوره سخنرانی (و همچنین هدف این کتاب) متواضعانه تر بود. نگارنده قصد داشت با مقدمه‌ای بر زبان نظریه پایداری سازه، نتایج اصلی آن را تدوین کند و دانشجویان (و همچنین خوانندگان کتاب) را با برخی از روش‌های اصلی این نظریه آشنا کند. می توان دو جنبه اصلی از نظریه مدرن پایداری سازه را انتخاب کرد (البته برخی قراردادها به این بیانیه پیوست شده است). اولین مورد، اجازه دهید آن را جنبه «هندسی» بنامیم، عمدتاً به شرح تصویر مسیرهای یک سیستم می پردازد. و دومی، فرض کنید "تحلیلی"، روش حل معادلات تابعی را برای یافتن منیفولدهای ثابت، همومورفیسم مزدوج و غیره در مرکز خود دارد.

This book is based on a one year course of lectures on structural sta­ bility of differential equations which the author has given for the past several years at the Department of Mathematics and Mechanics at the University of Leningrad. The theory of structural stability has been developed intensively over the last 25 years. This theory is now a vast domain of mathematics, having close relations to the classical qualitative theory of differential equations, to differential topology, and to the analysis on manifolds. Evidently it is impossible to present a complete and detailed account of all fundamental results of the theory during a one year course. So the purpose of the course of lectures (and also the purpose of this book) was more modest. The author was going to give an introduction to the language of the theory of structural stability, to formulate its principal results, and to introduce the students (and also the readers of the book) to some of the main methods of this theory. One can select two principal aspects of modern theory of structural stability (of course there are some conventions attached to this state­ ment). The first one, let us call it the "geometric" aspect, deals mainly with the description of the picture of trajectories of a system; and the second, let us say the "analytic" one, has in its centre the method for solving functional equations to find invariant manifolds, conjugating homeomorphisms, and so forth.