Introduction to Stochastic Integration

نظریه ادغام تصادفی، که حساب Ito نیز نامیده می‌شود، تقریباً در هر حوزه علمی که شامل توابع تصادفی می‌شود، طیف وسیعی از کاربردها دارد، اما می‌تواند برای افرادی که پیش‌زمینه ریاضی زیادی ندارند، موضوع بسیار دشواری باشد. محاسبات Ito در اصل با ساخت فرآیندهای انتشار مارکوف از ژنراتورهای بینهایت کوچک ایجاد شد. پیش از این، ساخت چنین فرآیندهایی به چندین مرحله نیاز داشت، در حالی که ایتو این فرآیندهای انتشار را مستقیماً در یک مرحله واحد به عنوان حل معادلات انتگرال تصادفی مرتبط با مولدهای بی نهایت کوچک ساخت. علاوه بر این، خواص این فرآیندهای انتشار را می توان از معادلات انتگرال تصادفی و فرمول Ito به دست آورد. این کتاب درسی مقدماتی در مورد انتگرال گیری تصادفی، مقدمه ای مختصر بر حساب Ito ارائه می دهد و موضوعات زیر را پوشش می دهد:

* ساخت و سازهای حرکت براونی؛

* انتگرال های تصادفی برای حرکت براونی و مارتینگل ها.

* فرمول Ito؛

* انتگرال های چندگانه وینر-ایتو؛

* معادلات دیفرانسیل تصادفی؛

* کاربردهای مالی، تئوری فیلترینگ و مدارهای الکتریکی.

خواننده باید پیش زمینه ای در محاسبات پیشرفته و تئوری احتمالات اولیه و همچنین دانش پایه ای از نظریه اندازه گیری و فضاهای هیلبرت داشته باشد. هر فصل با تمرین‌های مختلفی به پایان می‌رسد که برای کمک به خواننده در درک بیشتر مطالب طراحی شده است.

هوی-هسیونگ کو، استاد ریاضیات نیکلسون در دانشگاه ایالتی لوئیزیانا است. او در دانشگاه ایالتی لوئیزیانا، دانشگاه چنگ کونگ، دانشگاه میجو و دانشگاه رم \"Tor Vergata\" سخنرانی کرده است. او همچنین نویسنده اقدامات گاوسی در فضاهای باناخ (اسپرینگر 1975) و نظریه توزیع نویز سفید (انتشارات CRC 1996) و خاطراتی از دوران کودکی خود که در تایوان بزرگ شد، تیری به سمت خورشید شلیک شد (کتاب های آبریج 2004) است.

The theory of stochastic integration, also called the Ito calculus, has a large spectrum of applications in virtually every scientific area involving random functions, but it can be a very difficult subject for people without much mathematical background. The Ito calculus was originally motivated by the construction of Markov diffusion processes from infinitesimal generators. Previously, the construction of such processes required several steps, whereas Ito constructed these diffusion processes directly in a single step as the solutions of stochastic integral equations associated with the infinitesimal generators. Moreover, the properties of these diffusion processes can be derived from the stochastic integral equations and the Ito formula. This introductory textbook on stochastic integration provides a concise introduction to the Ito calculus, and covers the following topics:

* Constructions of Brownian motion;

* Stochastic integrals for Brownian motion and martingales;

* The Ito formula;

* Multiple Wiener-Ito integrals;

* Stochastic differential equations;

* Applications to finance, filtering theory, and electric circuits.

The reader should have a background in advanced calculus and elementary probability theory, as well as a basic knowledge of measure theory and Hilbert spaces. Each chapter ends with a variety of exercises designed to help the reader further understand the material.

Hui-Hsiung Kuo is the Nicholson Professor of Mathematics at Louisiana State University. He has delivered lectures on stochastic integration at Louisiana State University, Cheng Kung University, Meijo University, and University of Rome "Tor Vergata," among others. He is also the author of Gaussian Measures in Banach Spaces (Springer 1975), and White Noise Distribution Theory (CRC Press 1996), and a memoir of his childhood growing up in Taiwan, An Arrow Shot into the Sun (Abridge Books 2004).