Inference on the Hurst Parameter and the Variance of Diffusions Driven by Fractional Brownian Motion

این کتاب به تعدادی از مدل‌های تصادفی اختصاص داده شده است که عدم تغییر مقیاس را نشان می‌دهند. اساساً بر روی سه موضوع تمرکز می‌کند: ویژگی‌های احتمالی، تخمین آماری و شبیه‌سازی فرآیندهای در نظر گرفته شده.

این مورد برای متخصصان احتمال، که در اینجا ارائه‌ای بدون عارضه از ابزارهای آماری را پیدا می‌کنند، و برای آن دسته آماردانانی که می‌خواهد با جدیدترین نظریه‌های احتمال مقابله کند تا قضایای حد مرکزی را در این زمینه توسعه دهد. هر دو گروه از بخش شبیه سازی نیز بهره مند خواهند شد. الگوریتم ها با جزئیات زیاد، با تمرکز بر رویه هایی که معمولاً در رساله های ریاضی یافت نمی شوند، توضیح داده شده اند. مدل‌های مورد مطالعه، حرکات و فرآیندهای براونی کسری هستند که از آنها از طریق معادلات دیفرانسیل تصادفی ناشی می‌شوند.

در رابطه با اثبات قضایای حدی، از «قضیه لحظه چهارم» به‌طور سیستماتیک استفاده می‌شود، زیرا برهان‌های سریع و مفیدی را تولید می‌کند. که می تواند الگویی برای آینده باشد. خوانندگان همچنین شواهد ظریف و جدیدی را برای همگرایی تقریباً مطمئن پیدا خواهند کرد.

استفاده از مدل‌های انتشار با نویز کسری بیش از دو دهه است که رایج بوده است. این محبوبیت هم به دلیل خود ریاضیات و هم به دلیل زمینه های کاربردی آن است. با توجه به دومی، مدل‌های کسری برای مدل‌سازی رویدادهای زندگی واقعی مانند دارایی‌های ارزشی در بازارهای مالی، آشفتگی در فیزیک کوانتومی، جریان رودخانه در طول زمان، تصاویر نامنظم، رویدادهای آب و هوایی و مشکلات انتشار آلاینده‌ها مفید هستند.

This book is devoted to a number of stochastic models that display scale invariance. It primarily focuses on three issues: probabilistic properties, statistical estimation and simulation of the processes considered.

It will be of interest to probability specialists, who will find here an uncomplicated presentation of statistics tools and to those statisticians who wants to tackle the most recent theories in probability in order to develop Central Limit Theorems in this context; both groups will also benefit from the section on simulation. Algorithms are described in great detail, with a focus on procedures that is not usually found in mathematical treatises. The models studied are fractional Brownian motions and processes that derive from them through stochastic differential equations.

Concerning the proofs of the limit theorems, the “Fourth Moment Theorem” is systematically used, as it produces rapid and helpful proofs that can serve as models for the future. Readers will also find elegant and new proofs for almost sure convergence.

The use of diffusion models driven by fractional noise has been popular for more than two decades now. This popularity is due both to the mathematics itself and to its fields of application. With regard to the latter, fractional models are useful for modeling real-life events such as value assets in financial markets, chaos in quantum physics, river flows through time, irregular images, weather events and contaminant diffusion problems.