Hypoelliptic Laplacian and Bott–Chern Cohomology: A Theorem of Riemann–Roch–Grothendieck in Complex Geometry

این کتاب اثبات یک نسخه هندسی پیچیده از یک نتیجه شناخته‌شده در هندسه جبری را ارائه می‌کند: قضیه ریمان-روخ-گروتندیک برای فرورفتن مناسب. این یک برابری از کلاس‌های هم‌شناسی در هم‌شناسی Bott-Chern ارائه می‌دهد، که اصلاحی برای منیفولدهای پیچیده هم‌شناسی د رام است. وقتی منیفولدها کاهلر هستند، نتیجه اصلی ما مشخص است. با استفاده از تئوری هاج بیضوی الیاف، تغییر شکل آن از طریق ابراتصالات کویلن، و نسخه ای در خانواده هایی از "لغوهای خارق العاده" مک کین-سینگر در نظریه شاخص محلی، می توان اثبات کرد. در حالت کلی، این رویکرد از بین می رود زیرا لغو دیگر رخ نمی دهد. یکی از ابزارهای مورد استفاده در این کتاب، تغییر شکل تئوری هاج الیاف به نظریه هاج هیپواللیپسی است، به گونه‌ای که اطلاعات مربوط به همومولوژی حفظ می‌شود و «لغوهای خارق‌العاده» برای تغییر شکل رخ می‌دهد. لاپلاسین هیپواللیپسی تغییر شکل یافته روی فضای کل دسته مماس نسبی الیاف عمل می کند. در حالی که لاپلاسین اصلی هیپواللیپسی کشف شده توسط نویسنده را می توان بر حسب نوسان ساز هارمونیک در امتداد دسته مماس و جریان ژئودزیکی توصیف کرد، در اینجا، نوسانگر هارمونیک باید با یک نوسانگر کوارتیک جایگزین شود. ایده دیگری که در این کتاب ایجاد شده این است که در حالی که نظریه کلاسیک هاج بیضوی مبتنی بر محصول هرمیتی بر روی اشکال است، نظریه هیپواللیپسی شامل یک جفت هرمیتی است که یک اصلاح خفیف از جفت شدن تقاطع است. ملاحظات احتمالی نقش مهمی را ایفا می کنند، چه به عنوان انگیزه برخی سازه ها، چه در خود براهین.

The book provides the proof of a complex geometric version of a well-known result in algebraic geometry: the theorem of Riemann–Roch–Grothendieck for proper submersions. It gives an equality of cohomology classes in Bott–Chern cohomology, which is a refinement for complex manifolds of de Rham cohomology. When the manifolds are Kähler, our main result is known. A proof can be given using the elliptic Hodge theory of the fibres, its deformation via Quillen's superconnections, and a version in families of the 'fantastic cancellations' of McKean–Singer in local index theory. In the general case, this approach breaks down because the cancellations do not occur any more. One tool used in the book is a deformation of the Hodge theory of the fibres to a hypoelliptic Hodge theory, in such a way that the relevant cohomological information is preserved, and 'fantastic cancellations' do occur for the deformation. The deformed hypoelliptic Laplacian acts on the total space of the relative tangent bundle of the fibres. While the original hypoelliptic Laplacian discovered by the author can be described in terms of the harmonic oscillator along the tangent bundle and of the geodesic flow, here, the harmonic oscillator has to be replaced by a quartic oscillator. Another idea developed in the book is that while classical elliptic Hodge theory is based on the Hermitian product on forms, the hypoelliptic theory involves a Hermitian pairing which is a mild modification of intersection pairing. Probabilistic considerations play an important role, either as a motivation of some constructions, or in the proofs themselves.