Hypernumbers and Extrafunctions: Extending the Classical Calculus

«ابر اعداد و برون توابع» یک رویکرد ریاضی دقیق برای عملکرد با مقادیر بی نهایت ارائه می دهد. اول، مفاهیم اعداد حقیقی و مختلط بسط می‌یابند تا جهان جدیدی از اعداد به نام ابر اعداد را شامل شود که شامل کمیت‌های بی‌نهایت است. این مختصر حساب کلاسیک را بر اساس توابع واقعی با معرفی برون توابع، که نه تنها مفهوم یک تابع معمولی، بلکه مفهوم توزیع را نیز تعمیم می‌دهد، گسترش می‌دهد. برون تابعها همچنین برای تعریف دقیق ریاضی از انتگرالمسیر فاینمن و همچنین برای حل برخی از مسائل در نظریه احتمال، که برای فیزیک معاصر نیز مهم است، استفاده شده است.

این کتاب نظریه جدیدی را معرفی می‌کند که شامل نظریه توزیع‌ها به عنوان یک نظریه فرعی است و ابزارهای قدرتمندتری برای ریاضیات و کاربردهای آن ارائه می‌کند. به طور خاص، حل PDE را که ثابت شده است در توزیع ها راه حل ندارند، امکان پذیر می کند. همچنین در این متن نشان داده شده است که چگونه این نظریه جدید اجازه تمایز و ادغام هر تابع واقعی را می دهد. این متن را می توان برای تقویت دروس سنتی حساب دیفرانسیل و انتگرال برای دانشجویان کارشناسی و همچنین برای آموزش یک دوره جداگانه برای دانشجویان کارشناسی ارشد استفاده کرد.

“Hypernumbers and Extrafunctions” presents a rigorous mathematical approach to operate with infinite values. First, concepts of real and complex numbers are expanded to include a new universe of numbers called hypernumbers which includes infinite quantities. This brief extends classical calculus based on real functions by introducing extrafunctions, which generalize not only the concept of a conventional function but also the concept of a distribution. Extrafucntions have been also efficiently used for a rigorous mathematical definition of theFeynman path integral, as well as for solving some problems in probability theory, which is also important for contemporary physics.

This book introduces a new theory that includes the theory of distributions as a subtheory, providing more powerful tools for mathematics and its applications. Specifically, it makes it possible to solve PDE for which it is proved that they do not have solutions in distributions. Also illustrated in this text is how this new theory allows the differentiation and integration of any real function. This text can be used for enhancing traditional courses of calculus for undergraduates, as well as for teaching a separate course for graduate students.