Grundzüge der Algebra

جبر در کنار تجزیه و تحلیل و هندسه یکی از پایه های اصلی ریاضیات مدرسه و به طور کلی ریاضیات است. در این جلد ما سعی کرده‌ایم از جبر کلاسیک و تئوری اعداد ابتدایی گزیده‌ای داشته باشیم که به عنوان اطلاعات پس‌زمینه برای معلمان ریاضیات مدارس دستور زبان منطقی باشد. هنگامی که برای اولین بار با جبر آشنا می شوید، تمرکز بر روی حساب اعداد و جستجو برای حل معادلات ساده است. پس از ارائه مختصری از مهمترین اصطلاحات اساسی جبری، بنابراین یک نمای کلی از ساختار سیستم اعداد ارائه می دهیم، که به موجب آن هدف ما این بود که پسوندهای محدوده اعداد را به عنوان یک مورد خاص از ساختارهای جبری عمومی کار کنیم. به این ترتیب شباهت‌های ساخت اعداد صحیح و گویا را نشان می‌دهیم و از طریق فرآیندهای کلی تکمیل فیلدهای مرتب شده یا صفرهای مجاور، اعداد حقیقی و اعداد مختلط را به دست می‌آوریم. هنگام بحث درباره گروه‌ها، ما بر مثال‌هایی برای گروه‌های محدود تأکید می‌کنیم: گروه‌های جایگشت، گروه‌های مرتبه کوچک، گروه‌های حرکت محدود هواپیما. پرداختن به تفصیل نظریه تقسیم پذیری جایگاهی مرکزی دارد. علاوه بر کاربردهای اعداد صحیح و چندجمله‌ای، به نظریه اعداد حلقه اعداد صحیح گاوس خواهیم پرداخت و نشان می‌دهیم که چگونه گزاره‌های نظری اعداد در مورد این حلقه می‌توانند به گزاره‌هایی درباره مجموع مربع‌های اعداد طبیعی تبدیل شوند.

Algebra ist neben Analysis und Geometrie eine der tragenden Säulen der Schulmathe­ matik und der Mathematik überhaupt. Wir haben in diesem Band versucht, eine Aus­ wahl aus der klassischen Algebra und der elementaren Zahlentheorie zu treffen, die als Hintergrundinformation ftir den Mathematiklehrer am Gymnasium sinnvoll erscheint. Bei der ersten Bekanntschaft mit Algebra stehen das Zahlenrechnen und die Suche nach Lösungen ftir einfache Gleichungen im Vordergrund. Wir geben daher nach einer kurzen Darstellung der wichtigsten algebraischen Grundbegriffe einen vollständigen überblick über den Aufbau des Zahlsystems, wobei es uns darauf ankam, die Zahl­ bereichserweiterungen als Spezialfall allgemeiner algebraischer Konstruktionen heraus­ zuarbeiten. So zeigen wir die Gemeinsamkeiten bei der Konstruktion der ganzen und der rationalen Zahlen auf und gewinnen die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen durch die allgemeinen Prozesse der Vervollständigung angeordneter Körper bzw. der Adjunktion von Nullstellen. Bei den Ausftihrungen über Gruppen legen wir besonderes Gewicht auf Beispiele ftir endliche Gruppen: Permutationsgruppen, Gruppen kleiner Ordnung, endliche Bewe­ gungsgruppen der Ebene. Einen zentralen Platz nimmt die ausftihrliche Behandlung der Teilbarkeitslehre ein. Neben den Anwendungen bei ganzen Zahlen und Polynomen gehen wir exemplarisch auf die Zahlentheorie des Ringes der ganzen Gaußschen Zahlen ein und zeigen, wie sich zahlentheoretische Aussagen über diesen Ring in Aussagen über Quadratsummen natürlicher Zahlen übersetzen lassen.