Grundkurs Topologie

توپولوژی با خواص کیفی اجسام هندسی سر و کار دارد. اصطلاحات آن چنان قدرتمند است که به سختی ساختار ریاضی وجود دارد که با سود توپولوژیکی نشده باشد.

این کتاب خود را پلی از سخنرانی های مقدماتی در مورد تجزیه و تحلیل و جبر خطی به سخنرانی های پیشرفته در مورد جبری و جبر می داند. توپولوژی هندسی این به ویژه برای دانش‌آموزانی که دارای مدرک کارشناسی یا کارشناسی ارشد در ریاضیات هستند مناسب است، اما می‌تواند توسط دانشمندان علوم طبیعی علاقه‌مند به ریاضیات برای خودآموزی نیز مورد استفاده قرار گیرد.

نویسندگان اهمیت ویژه‌ای به زبان مدرنی می‌دهند که این زبان را متحد می‌کند. ایده های ارائه شده و در نتیجه تسکین یافته است. تعاریف همیشه با مثال های زیادی پشتیبانی می شوند و مفاهیم جدید با تصاویر متعدد نشان داده می شوند. بیش از 170 تمرین (با راه حل تمرینات منتخب در وب سایت کتاب) به تمرین و عمق بخشیدن به محتوای آموزش داده شده کمک می کند. بسیاری از بخش‌ها با بینش‌های مختصری در مورد موضوعات بعدی تکمیل می‌شوند که نقطه شروعی برای مقالات تحقیقاتی یا موضوعات سمینار است.

علاوه بر مطالب معمول در مورد توپولوژی نظری مجموعه‌ها، نظریه گروه‌ها و پوشش‌های بنیادی، بسته‌ها، شیوها و روشهای ساده نیز پوشش داده شده است که امروزه به مفاهیم اساسی هندسه و توپولوژی تعلق دارند.

Die Topologie beschäftigt sich mit den qualitativen Eigenschaften geometrischer Objekte. Ihr Begriffsapparat ist so mächtig, dass kaum eine mathematische Struktur nicht mit Gewinn topologisiert wurde.

Dieses Buch versteht sich als Brücke von den einführenden Vorlesungen der Analysis und Linearen Algebra zu den fortgeschrittenen Vorlesungen der Algebraischen und Geometrischen Topologie. Es eignet sich besonders für Studierende in einem Bachelor- oder Masterstudiengang der Mathematik, kann aber auch zum Selbststudium für mathematisch interessierte Naturwissenschaftler dienen.

Die Autoren legen besonderen Wert auf eine moderne Sprache, welche die vorgestellten Ideen vereinheitlicht und damit erleichtert. Definitionen werden stets mit vielen Beispielen unterlegt und neue Konzepte werden mit zahlreichen Bildern illustriert. Über 170 Übungsaufgaben (mit Lösungen zu ausgewählten Aufgaben auf der Website zum Buch) helfen, die vermittelten Inhalte einzuüben und zu vertiefen. Viele Abschnitte werden ergänzt durch kurze Einblicke in weiterführende Themen, die einen Ausgangspunkt für Studienarbeiten oder Seminarthemen bieten.

Neben dem üblichen Stoff zur mengentheoretischen Topologie, der Theorie der Fundamentalgruppen und der Überlagerungen werden auch Bündel, Garben und simpliziale Methoden angesprochen, welche heute zu den Grundbegriffen der Geometrie und Topologie gehören.