Geometry: Euclid and Beyond

در سال‌های اخیر، دوره‌ای در سطح متوسطه اول در مورد هندسه کلاسیک تدریس کرده‌ام. این کتاب از آن تجربه تدریس رشد کرده است. من فقط هندسه دبیرستان و مقداری جبر انتزاعی را فرض می کنم. این دوره در فصل 1 با بررسی انتقادی عناصر اقلیدس آغاز می شود. از دانش‌آموزان انتظار می‌رود که همزمان کتاب‌های اول تا چهارم متن اقلیدس را بخوانند، که باید به طور جداگانه دریافت شود. باقیمانده کتاب کاوشی از پرسش هایی است که به طور طبیعی از این خواندن به همراه پاسخ های مدرن آنها ناشی می شود. برای تقویت پایه ها از بدیهیات هیلبرت استفاده می کنیم. صفحه دکارتی بر روی یک میدان یک مدل تحلیلی از نظریه ارائه می دهد و برعکس، می بینیم که می توان مختصات را به یک هندسه انتزاعی وارد کرد. تئوری مساحت با برش ارقام به مثلث تجزیه و تحلیل می شود. جبر گسترش میدان روشی را برای تصمیم گیری در مورد ساخت و سازهای هندسی ارائه می دهد. بررسی فرض موازی به هندسه های مختلف غیر اقلیدسی منجر می شود. و در فصل آخر، آنچه را که در بررسی اقلیدس با پنج جامد افلاطونی در کتاب سیزدهم عناصر وجود ندارد، ارائه می کنیم. برای یک دوره یک ترم مانند من تدریس می کنم، فصل های 1 و 2 مواد اصلی را تشکیل می دهند که شش تا هشت هفته طول می کشد.

In recent years, I have been teaching a junior-senior-level course on the classi­ cal geometries. This book has grown out of that teaching experience. I assume only high-school geometry and some abstract algebra. The course begins in Chapter 1 with a critical examination of Euclid's Elements. Students are expected to read concurrently Books I-IV of Euclid's text, which must be obtained sepa­ rately. The remainder of the book is an exploration of questions that arise natu­ rally from this reading, together with their modern answers. To shore up the foundations we use Hilbert's axioms. The Cartesian plane over a field provides an analytic model of the theory, and conversely, we see that one can introduce coordinates into an abstract geometry. The theory of area is analyzed by cutting figures into triangles. The algebra of field extensions provides a method for deciding which geometrical constructions are possible. The investigation of the parallel postulate leads to the various non-Euclidean geometries. And in the last chapter we provide what is missing from Euclid's treatment of the five Platonic solids in Book XIII of the Elements. For a one-semester course such as I teach, Chapters 1 and 2 form the core material, which takes six to eight weeks.