Geometric theory of discrete nonautonomous dynamical systems

سیستم‌های دینامیکی غیرخودمختار چارچوبی ریاضی برای پدیده‌های در حال تغییر زمانی ارائه می‌کنند، جایی که قانون تکامل در زمان به دلیل تأثیرات فصلی، مدولاسیون، کنترل‌کننده یا حتی تصادفی متفاوت است. هدف ما ارائه رویکردی به تئوری هندسی متناظر سیستم‌های دینامیکی گسسته غیرمستقل در فضاهای بی‌بعدی با استفاده از نیم‌گروه‌های 2 پارامتری (فرآیند) است. این سیستم های دینامیکی توسط معادلات اختلاف ضمنی تولید می شوند که به صراحت به زمان بستگی دارند. شرایط فشردگی و اتلاف پذیری برای چنین مشکلاتی به منظور داشتن جاذبه‌هایی با استفاده از مفهوم طبیعی همگرایی پس‌کشی فراهم شده است. با توجه به یک نظریه خطی ضروری، مفهوم هذلولی ما مبتنی بر دوگانگی و شکاف های نمایی است. این مفهوم به نوبه خود برای ساخت منیفولدهای ثابت غیر مستقل، به اصطلاح بسته‌های فیبر، و استنتاج قضایای خطی‌سازی استفاده می‌شود. نتایج با استفاده از گسسته سازی زمانی و کامل معادلات دیفرانسیل تکاملی نشان داده شده است.

Nonautonomous dynamical systems provide a mathematical framework for temporally changing phenomena, where the law of evolution varies in time due to seasonal, modulation, controlling or even random effects. Our goal is to provide an approach to the corresponding geometric theory of nonautonomous discrete dynamical systems in infinite-dimensional spaces by virtue of 2-parameter semigroups (processes). These dynamical systems are generated by implicit difference equations, which explicitly depend on time. Compactness and dissipativity conditions are provided for such problems in order to have attractors using the natural concept of pullback convergence. Concerning a necessary linear theory, our hyperbolicity concept is based on exponential dichotomies and splittings. This concept is in turn used to construct nonautonomous invariant manifolds, so-called fiber bundles, and deduce linearization theorems. The results are illustrated using temporal and full discretizations of evolutionary differential equations.