Dynamic Systems on Measure Chains

از دیدگاه مدل‌سازی، مدل‌سازی یک پدیده با یک سیستم پویا که هم زمان‌های پیوسته و هم گسسته را در بر می‌گیرد، یعنی زمان به‌عنوان مجموعه‌ای بسته دلخواه از واقعیات به نام مقیاس زمانی یا زنجیره اندازه‌گیری، واقعی‌تر است. بنابراین طبیعی است که بپرسیم آیا می توان چارچوبی را ارائه داد که به ما اجازه دهد هر دو سیستم پویا را به طور همزمان مدیریت کنیم تا بتوانیم بینش و درک بهتری از تفاوت های ظریف این دو سیستم مختلف بدست آوریم. پاسخ مثبت است، و تئوری اخیراً توسعه یافته سیستم های پویا در مقیاس های زمانی، رویکرد واحد مورد نظر را ارائه می دهد.
در این مونوگراف، وضعیت کنونی توسعه نظریه سیستم‌های دینامیکی در مقیاس‌های زمانی را از دیدگاه کیفی ارائه می‌کنیم. از چهار فصل تشکیل شده است. فصل اول به طور سیستماتیک محاسبات لازم توابع را در مقیاس های زمانی توسعه می دهد. در فصل دوم، سیستم‌های دینامیکی را در مقیاس‌های زمانی معرفی می‌کنیم و ویژگی‌های اساسی راه‌حل‌های چنین سیستم‌های دینامیکی را اثبات می‌کنیم. تئوری پایداری لیاپانوف در فصل سوم در یک تنظیم مناسب مورد بحث قرار گرفته است. فصل چهارم به تشریح چندین حوزه مختلف از بررسی‌های سیستم‌های دینامیکی در مقیاس‌های زمانی اختصاص دارد که چشم‌انداز هیجان‌انگیزی و انگیزه‌ای برای پیشرفت‌های بیشتر در این زمینه مهم که بسیار جدید است، فراهم می‌کند.
برخی از ویژگی‌های مهم مونوگراف به شرح زیر است:

From a modelling point of view, it is more realistic to model a phenomenon by a dynamic system which incorporates both continuous and discrete times, namely, time as an arbitrary closed set of reals called time-scale or measure chain. It is therefore natural to ask whether it is possible to provide a framework which permits us to handle both dynamic systems simultaneously so that one can get some insight and a better understanding of the subtle differences of these two different systems. The answer is affirmative, and recently developed theory of dynamic systems on time scales offers the desired unified approach.
In this monograph, we present the current state of development of the theory of dynamic systems on time scales from a qualitative point of view. It consists of four chapters. Chapter one develops systematically the necessary calculus of functions on time scales. In chapter two, we introduce dynamic systems on time scales and prove the basic properties of solutions of such dynamic systems. The theory of Lyapunov stability is discussed in chapter three in an appropriate setup. Chapter four is devoted to describing several different areas of investigations of dynamic systems on time scales which will provide an exciting prospect and impetus for further advances in this important area which is very new.
Some important features of the monograph are as follows: