Geometric Dynamics

دینامیک هندسی ابزاری است برای توسعه یک نمایش ریاضی از پدیده های دنیای واقعی، بر اساس مفهوم خط میدانی که به دو صورت توصیف شده است: -به عنوان حل هر مسئله کوشی مرتبط با یک سیستم دیفرانسیل خودمختار مرتبه اول. - به عنوان راه حل یک مشکل کوشی خاص مرتبط با طولانی شدن محافظه کارانه مرتبه دوم سیستم اولیه. تازگی اصلی کتاب ما کشف این است که یک خط میدان ژئودزیک یک ساختار هندسی مناسب در یک فضای معین است (قانون نیروی جهانی لورنتس-اودری). به عبارت دیگر، ما یک کلاس وسیع‌تر از منیفولدهای ریمان-ژاکوبی، ریمان-ژاکوبی-لاگرانژ یا فینسلر-ژاکوبی ایجاد می‌کنیم و اطمینان حاصل می‌کنیم که تمام مسیرهای یک میدان برداری معین ژئودزیک هستند. این کمک ما به یک مشکل باز قدیمی است که توسط H. Poincare، S. Sasaki و دیگران مطالعه شده است. از دیدگاه سینماتیکی شهود جسمی، یک خط میدان مسیری را که یک ذره به دنبال آن در نقطه‌ای از حوزه تعریف یک میدان برداری است، نشان می‌دهد، اگر ذره به نوع میدان مربوطه حساس باشد. بنابراین خطوط میدانی به صورت طبیعی در مسائل مکانیک نظری، مکانیک سیالات، فیزیک، ترمودینامیک، زیست شناسی، شیمی و غیره ظاهر می شوند.

Geometric dynamics is a tool for developing a mathematical representation of real world phenomena, based on the notion of a field line described in two ways: -as the solution of any Cauchy problem associated to a first-order autonomous differential system; -as the solution of a certain Cauchy problem associated to a second-order conservative prolongation of the initial system. The basic novelty of our book is the discovery that a field line is a geodesic of a suitable geometrical structure on a given space (Lorentz-Udri~te world-force law). In other words, we create a wider class of Riemann-Jacobi, Riemann-Jacobi-Lagrange, or Finsler-Jacobi manifolds, ensuring that all trajectories of a given vector field are geodesics. This is our contribution to an old open problem studied by H. Poincare, S. Sasaki and others. From the kinematic viewpoint of corpuscular intuition, a field line shows the trajectory followed by a particle at a point of the definition domain of a vector field, if the particle is sensitive to the related type of field. Therefore, field lines appear in a natural way in problems of theoretical mechanics, fluid mechanics, physics, thermodynamics, biology, chemistry, etc.