Generalized Convexity, Generalized Monotonicity: Recent Results

یک تابع در صورتی محدب است که رونوشت آن محدب باشد. این ساختار هندسی دارای مفاهیم بسیار قوی از نظر تداوم و تمایز است. قضایای جدایی منجر به شرایط بهینه و دوگانگی برای مسائل محدب می شود. تابعی شبه محدب است اگر مجموعه های سطح پایین آن محدب باشند. در اینجا مجدداً، ساختار ژئو متریک مجموعه‌های سطح بر برخی ویژگی‌های پیوستگی و تمایزپذیری برای توابع شبه محدب دلالت دارد. شرایط بهینه و دوگانگی را می توان برای مسائل بهینه سازی شامل چنین توابعی نیز به دست آورد. در طی یک دوره حدود پنجاه ساله، شبه محدب و دیگر توابع محدب تعمیم یافته در زمینه های مختلفی از جمله اقتصاد، علم مدیریت، مهندسی، احتمالات و علوم کاربردی مطابق با نیاز کاربردهای خاص مورد توجه قرار گرفته اند. طی بیست و پنج سال گذشته، افزایش فعالیت های پژوهشی در این زمینه شاهد بوده است. اخیراً یکنواختی تعمیم یافته نقشه ها مورد مطالعه قرار گرفته است. همانطور که یکنواختی به تحدب مربوط می شود، به تحدب تعمیم یافته مربوط می شود. یکنواختی تعمیم یافته در مسائل نابرابری متغیر، مسائل تکمیلی و به طور کلی در مسائل تعادل نقش دارد.

A function is convex if its epigraph is convex. This geometrical structure has very strong implications in terms of continuity and differentiability. Separation theorems lead to optimality conditions and duality for convex problems. A function is quasiconvex if its lower level sets are convex. Here again, the geo­ metrical structure of the level sets implies some continuity and differentiability properties for quasiconvex functions. Optimality conditions and duality can be derived for optimization problems involving such functions as well. Over a period of about fifty years, quasiconvex and other generalized convex functions have been considered in a variety of fields including economies, man­ agement science, engineering, probability and applied sciences in accordance with the need of particular applications. During the last twenty-five years, an increase of research activities in this field has been witnessed. More recently generalized monotonicity of maps has been studied. It relates to generalized convexity off unctions as monotonicity relates to convexity. Generalized monotonicity plays a role in variational inequality problems, complementarity problems and more generally, in equilibrium prob­ lems.