Gauss Diagram Invariants for Knots and Links

ثابت‌های نمودار گاوس، متغیرهای ایزوتوپی گره‌های جهت‌دار در منیفولدها هستند که حاصلضرب سطح (نه لزوماً جهت‌گیری) با یک خط جهت‌دار هستند. متغیرها به روشی ترکیبی با استفاده از نمودارهای گره تعریف می‌شوند و مقادیر را در گروه‌های آبلی آزاد تولید شده توسط اولین گروه همسانی سطح یا مجموعه کلاس‌های هموتوپی آزاد حلقه‌ها در سطح می‌گیرند. سه نتیجه اصلی وجود دارد: 1. ساخت متغیرهای نوع محدود برای گره های دلخواه در منیفولدهای 3 غیر جهت یابی. این متغیرها می توانند گره های هموتوپیک را با مکمل های همومورف تشخیص دهند. 2. متغیرهای خاص درجه 3 برای گره در چنبره جامد. این متغیرها را نمی‌توان برای گره‌ها در دسته‌های دسته‌های بالاتر تعمیم داد، برخلاف متغیرهایی که از تئوری ماژول‌های اسکاج به دست می‌آیند. 2 3. ما یک کلاس خاص از گره ها به نام گره های جهانی را در F x lR معرفی می کنیم و برای گره های جهانی، متغیرهای ایزوتوپی جدید به نام T-invariants می سازیم. برخی از T-invariants (اما نه همه!) از نوع محدود هستند، اما آنها را نمی توان از انتگرال تعمیم یافته Kontsevich استخراج کرد، که در نتیجه، تغییر ناپذیر جهانی از نوع محدود برای کلاس محدود گره های جهانی نیست. ما ثابت می‌کنیم که T-Invariants همه گره‌های جهانی را از یک نوع خاص جدا می‌کنند. 3 به عنوان نتیجه ما ثابت می کنیم که برخی از پیوندها در 5 بدون استفاده از گروه پیوند، معکوس نیستند! مقدمه و اعلان این کار مقدمه ای است بر دنیای ثابت های نمودار گاوس.

Gauss diagram invariants are isotopy invariants of oriented knots in- manifolds which are the product of a (not necessarily orientable) surface with an oriented line. The invariants are defined in a combinatorial way using knot diagrams, and they take values in free abelian groups generated by the first homology group of the surface or by the set of free homotopy classes of loops in the surface. There are three main results: 1. The construction of invariants of finite type for arbitrary knots in non­ orientable 3-manifolds. These invariants can distinguish homotopic knots with homeomorphic complements. 2. Specific invariants of degree 3 for knots in the solid torus. These invariants cannot be generalized for knots in handlebodies of higher genus, in contrast to invariants coming from the theory of skein modules. 2 3. We introduce a special class of knots called global knots, in F x lR and we construct new isotopy invariants, called T-invariants, for global knots. Some T-invariants (but not all !) are of finite type but they cannot be extracted from the generalized Kontsevich integral, which is consequently not the universal invariant of finite type for the restricted class of global knots. We prove that T-invariants separate all global knots of a certain type. 3 As a corollary we prove that certain links in 5 are not invertible without making any use of the link group! Introduction and announcement This work is an introduction into the world of Gauss diagram invariants.